课时作业16 圆锥曲线的综合问题
12
1．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对22称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
x2
??2＋y＝1，1
解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋n.由?m1
y＝－??mx＋n，
2
x2
消
?11?22n2
去y，得?＋2?x－x＋n－1＝0.
m?2m?
1x422
因为直线y＝－x＋n与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2n＋2＋2>0，①
m2m2
mn?1m＋2?2mn将AB的中点M的坐标?2，2?代入y＝mx＋，解得n＝－2，②
22m?m＋2m＋2?
由①②得m<－
66
或m>. 33
22
故m的取值范围是?－∞，－
??6??6??∪?，＋∞?. 3??3?
1?6??6??3?2
(2)令t＝∈?－，0?∪?0，?，则t∈?0，?.
m?2?2?2???
342
－2t＋2t＋2，
12
t＋2
|AB|＝t＋1×
2
t2＋
点O到直线AB的距离d＝设△AOB的面积为S(t)， 11
则S(t)＝|AB|·d＝ 22
1
2
t2＋1
. 2?21?2
－2?t－?＋2≤，
2?2?
1?3?22
当且仅当t＝时，等号成立，此时满足t∈?0，?.
2?2?故△AOB面积的最大值为
2
. 2
- 9 -
x2y22222
2．[2019·上海静安区模拟]设m>0，椭圆Γ：＋＝1与双曲线C：mx－y＝m的焦点
3mm相同．
(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程；
(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，分别交双曲线C于点P，
Q(P，Q不同于右顶点)，若k1·k2＝－1，求证：直线PQ的斜率为定值，并求出此定值．
解析：(1)由题意，得2m＝m＋1，所以m＝1.
所以椭圆Γ的方程为＋y＝1，双曲线C的方程为x－y＝1.
3(2)双曲线C的右顶点为(1,0)，因为k1·k2＝－1， 不妨设k1>0，则k2<0.
设直线l1的方程为y＝k1(x－1)． 由?
?y＝k1?x－1?，?
??x－y＝1，
2
2
2
x2
222
得(1－k1)x＋2k1x－k1－1＝0，
2222
k21＋1则1·xP＝2，
k1－1
k2k21＋11＋1??2k1
得xP＝2，yP＝k1?2－1?＝2.
k1－1?k1－1?k1－1k22k22＋1
同理，xQ＝2，yQ＝2，
k2－1k2－1
又k1·k2＝－1，
k2k22k2－2k12＋11＋1
所以xQ＝2＝－2＝－xP，yQ＝2＝＝yP.
k2－1k1－1k2－11－k21
因为yP＝yQ，所以直线PQ与x轴平行，即kPQ为定值0.
3．[2019·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点
2
M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程． 解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x－2pkx－2p＝0， 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为∵点N在以AB为直径的圆上， 2
∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
2
2
xpx1x222＝－， ppp - 10 -
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
x1p1
x2pxy－y＝?x－x?，??p联立，得?xy－y＝?x－x?，??p1
1
2
2
2
2结合①式，
??x＝pk，
解得?
?y＝－1，?
2
即N(pk，－1)．
?x1＋x2?－4x1x2＝1＋k·4pk＋8p，
2
2222|AB|＝1＋k|x2－x1|＝1＋k|kxN＋1－yN||pk＋2|点N到直线AB的距离d＝＝， 22
1＋k1＋k123
则S△ABN＝·|AB|·d＝p?pk＋2?≥22p，当且仅当k＝0时，取等号，
2∵△ABN的面积的最小值为4，
∴22p＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x＝4y.
2
x2y2
4．[2019·贵州贵阳监测]已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，为
abM为短轴的上端点，MF1·MF2＝0，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，|AB|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值．
解析：(1)由MF1·MF2＝0，得b＝c，
→
→→
→
x2y2b2
将x＝c代入2＋2＝1中，得y＝±，
aba2b因为|AB|＝2，所以＝2，
2
a又a＝b＋c，所以a＝2，b＝1， 故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)根据题意设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)(k≠－1)，即y＝kx－2k－1(k≠－1)， 将y＝kx－2k－1代入＋y＝1中，得
2(1＋2k)x－4k(2k＋1)x＋8k＋8k＝0， 由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2 2 2 2 222 x2 2 x2 2 - 11 - 4k?2k＋1?8k＋8k则x1＋x2＝，xx＝1222， 1＋2k1＋2k4k?2k＋1? ?2k＋2?×2 1＋2ky1－1y2－1kx1－2k－2kx2－2k－2 所以k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－2 x1x2x1x28k＋8k2 1＋2k(2k＋1)＝－1， 即k1＋k2＝－1. 5．[2019·安徽合肥二检]已知抛物线C1：x＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)＋y＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切． (1)求p的值； → (2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN＝→→ MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 解析：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋， 2因为直线l1与圆C2相切， 2 2 2 2 p所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝2＝2， 2 21＋?－1? p?－1＋p? ?2??? 即 ?－1＋p???2?? 2 ＝2，解得p＝6或p＝－2(舍去)． 所以p＝6. (2)解法一 依题意设M(m，－3)， 由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y，所以y＝， 12所以y′＝， 6 设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率k＝， 61 所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1. 6 121 令x＝0，则y＝－x1＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)， 66→→ 所以MA＝(x1－m，y1＋3)，MB＝(－m，－y1＋3)， →→→ 所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)， - 12 - 2 x2 xx1
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