→→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)，其中O为坐标原点． 设N点坐标为(x，y)，则y＝3， 所以点N在定直线y＝3上． 解法二 设M(m，－3)，
由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y ①，
12??x，x1?，则以A为切点的切线l2的方程为 设直线l2的斜率为k，A?1
12??
2
y＝k(x－x1)＋x21 ②.
x＝12y，??
联立①②得，?12
y＝k?x－xx1，1?＋?12?
2
2
2
112
消去y，得x－12kx＋12kx1－x1＝0.
22
因为Δ＝144k－48kx1＋4x1＝0，所以k＝，
6112
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x1.
61212??令x＝0，得B点坐标为?0，－x1?，
12??→?12?
所以MA＝?x1－m，x1＋3?，
12??→
2??MB＝?－m，－x1＋3?，
x1
?
112
?
→→→
所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m,6)，
→→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)，其中O为坐标原点， 设N点坐标为(x，y)，则y＝3， 所以点N在定直线y＝3上．
6．[2019·全国卷Ⅱ]已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率1
之积为－.记M的轨迹为曲线C.
2
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.
(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形； (ⅱ)求△PQG面积的最大值．
解析：本题主要考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的逻辑推
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理能力、运算求解能力，考查方程思想、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．
1xy(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，
x＋2x－2242焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
(2)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．
yy22
y＝kx，??22
由?xy＋＝1??42
记u＝
2
2
得x＝±
21＋2k2. 1＋2k，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．
22
kkky＝?x－u?，??2由?xy??4＋2＝1
2
2
得(2＋k)x－2ukx＋ku－8＝0.①
22222
u?3k2＋2?uk3设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝22.
2＋k2＋kuk3
2－uk2＋k1
从而直线PG的斜率为＝－.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． 2
u?3k＋2?k－u2
2＋k2ukk＋11
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u1＋k，|PG|＝，所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝2
2＋k2
2
2
8k?1＋k?
22＝?1＋2k??2＋k?
2
?k?
. 1?2?1＋2?＋k??k?
?1?8?＋k?
1
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．
k8t因为S＝2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值
1＋2t16为. 9
16
因此，△PQG面积的最大值为. 9
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