2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.3.1双曲线及其标准方程

2．3.1 双曲线及其标准方程

填一填 1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2y2x2标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) a2b2a2b2图形 焦点坐标 a，b，c的关系 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2 判一判 1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×)

x2y2

2．在双曲线标准方程2－2＝1中，a>0，b>0且a≠b.(×)

ab

3．双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b.(×)

4．双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(√)

5．双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(√) 6．双曲线的标准方程中，因为c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边．(√)

x2y2

7．给出方程＋＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是不是双曲线，只有mn<0时，

mn

方程才表示双曲线．(√)

8．点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(×)

想一想 1.双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？若2a>|F1F2|，则点P的轨迹是什么？

若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线．若2a>|F1F2|，则点P的轨迹不存在．

2．求双曲线方程的两个步骤是什么？

(1)定位：确定双曲线焦点的位置，以判断方程的形式．

(2)定量：确定方程中参数a，b的具体的值，常根据条件列方程(组)求解． 3．怎样判断一个方程是否表示双曲线？

x2y2

(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴

mn

上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．

x2y2

(2)对于方程－＝1，则当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的

mn

双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．

思考感悟：

练一练

x2y2

1．双曲线－＝1的焦距为( )

97

A.2 B．22 C．4 D．8 答案：D

2．“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( ) A．充分不必要和要件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案：B

3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是( )

x2y2x2y2

A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3) 169916x2y2x2y2

C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3) 169916答案：D

x2y2x2y2

4．椭圆＋2＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )

4aa21

A. B．1或－2 2

1

C．1或 D．1

2

答案：D

知识点一

双曲线标准方程的认识 x2y2

1．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )

k－5|k|－2

A．k>5

B．k>5或－22或k<－2 D．－2

解析：∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0.