???k－5>0，?k－5<0，即?或?
|k|－2>0，|k|－2<0.????
解得k>5或－2 2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆 x2y2n22 解析：方程mx－my＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在 nnmmmy轴上的双曲线． 答案：C 知识点二 双曲线的定义 3.已知M(－2,0)，N(2,0)，||PM|－|PN||＝3，则动点P的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．射线 D．双曲线 解析：由双曲线的定义可判断动点P的轨迹是双曲线． 答案：D 4．与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A．一个椭圆上 B．一条直线上 C．双曲线的一支上 D．一个圆上 解析：设动圆圆心为P，半径为r，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，r1＝1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为M(4,0)，r2＝2，由题意知，|PM|＝r＋r2，|PO|＝r＋r1，因为|PM|－|PO|＝r2－r1＝1<|OM|＝4，所以由双曲线定义知动圆圆心为双曲线的一支．故选C. 答案：C 知识点三 求双曲线的标准方程 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)过点A(3,2)和B(17,12)． y2x2 解析：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)． ab 由题设知，a＝25，且点A(2，－5)在双曲线上， ??a＝25，所以?254 ??a2－b2＝1， 解得a2＝20，b2＝16. y2x2 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 2016 x2y2 (2)若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)． ab 941－＝1，＝1，a2b2a2 由已知条件得解得 1721221－＝1，＝2.a2b2b2 ??? ??? y2 则双曲线的标准方程为x－＝1. 12 2 y2x2 若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)， ab 49 －＝1，a2b2 由已知条件得 122172 －＝1，a2b2 ??? ?a＝－2，解得?1 ?b＝－1， 22 1 y2 综上可知，所求双曲线的标准方程为＝1. 12 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)； x2y2 (3)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)． 85 x2－ 解析：(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x轴上， x2y2 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 97(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝| ?－5－0?2＋?6＋6?2－ ?－5－0?2＋?6－6?2| ＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. y2x2 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 1620 x2y2 (3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝22.设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0， ab 910 b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，2－2＝1，解得a2＝3，b2＝5. ab x2y2 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 35综合应用 17.点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝的距离的比是21，求点P的轨迹方程． 2 解析：设点P的坐标为(x，y)， ?x－2?2＋?y－0?2y2 2 由题意得＝2，化简得x－＝1， 3?x－1??2?y22 所以点P的轨迹方程为x－＝1. 3 显然不成立，舍去． x2y2 8．设F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 916 的面积． x2y2 解析：∵双曲线－＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， 916 不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a＝6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°. 而|F1F2|＝2c＝10， 得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝100， ∴|PF1||PF2|＝64. 1 ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝163. 2 基础达标 一、选择题 x2y2 1．双曲线－＝1的焦距为( ) 102 A．32 B．42 C．33 D．43 解析：c2＝a2＋b2＝10＋2＝12， ∴c＝23，2c＝43. 答案：D 2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点为( ) 25 A.?，0? B.?，0? ?2??2?6 C.?，0? D．(3，0) ?2? y22 解析：双曲线的标准方程为x－＝1.焦点在x轴上， 12 136c2＝1＋＝，c＝. 222 6 ∴右焦点为?，0?. ?2? 答案：C 3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( ) A．1 B．－1 11C. D．－ 22 x2y2 解析：依题意，知双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，方程可化为－＝1，则k>0，且 18kk 1818 a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1. kkkk答案：A x2y2 4．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3， 916 则|PF2|等于( ) A．11 B．9 C．5 D．3 解析：依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9. 答案：B 1x2y2 5．设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程＋＝1所表示的曲线为 5sin θcos θ ( ) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 1 解析：由sin θ＋cos θ＝得sin θ·cos θ<0， 5 又∵θ为三角形的一个内角， ∴sin θ>0，cos θ<0， ∴方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C. 答案：C 1 6．已知点F1(－2，0)、F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2.当点P的纵坐标是时，2 点P到坐标原点的距离是( )
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