63 B. 22C.3 D．2 A.
解析：因为动点P满足|PF2|－|PF1|＝2为定值，又2<22，所以P点的轨迹为双曲线的一支．因为2a＝2，所以a＝1.又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝1.所以P点轨迹为x2－y2＝1的15516
左支．当y＝时，x2＝1＋y2＝，则P点到原点的距离为|PO|＝x2＋y2＝＋＝.
24442
答案：A
7．已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F1(－5，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为( )
x22y2
2
A.－y＝1 B．x－＝1 442222xyxy
C.－＝1 D.－＝1 2332
x2y2
解析：设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则c＝5，即a2＋b2＝5 ①.设P(x，
ab－5＋x??2＝0，
y)，由线段PF的中点坐标为(0,2)，可知?
0＋y??2＝2，
1
??x＝5，
得?即点P的坐标为(5，?y＝4，?
516
4)，代入双曲线方程，得2－2＝1 ②.联立①②，得a2＝1，b2＝4，即双曲线的标准方程为
ab
2y
x2－＝1.故选B.
4
答案：B
x2y2x22
8．设椭圆＋＝1和双曲线－y＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，
623
则cos∠F1PF2等于( )
11A. B. 4313C. D. 95
解析：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 则d1＋d2＝26，① |d1－d2|＝23，②
2＋d2＝18. ①2＋②2，得d12
①2－②2，得2d1d2＝6. 而c＝2，
2＋d2－4c218－16d121即cos∠F1PF2＝＝＝.故选B.
2d1d263
答案：B 二、填空题
y229．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，24
则|PF1|＝________.
??3|PF1|＝4|PF2|，
解析：依题意有?解得|PF2|＝6，|PF1|＝8。
?|PF1|－|PF2|＝2×1，?
答案：8
x2y2
10．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离
259
为12，则点P到点F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2. 答案：22或2
y22
11．设双曲线x－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐
3
角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由已知得F1(－2,0)，F2(2,0)． 设P(x，y)是双曲线右支上任一点，则1 ? 由?|PF|＝?x－2?＋y， yx－?3＝1， |PF1|＝ 2 2 2 2 2 ?x＋2?2＋y2， ??|PF1|＝2x＋1， 得? ?|PF2|＝2x－1，? 又△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2， 即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>故 7， 2 7 答案：(27，8) y2x2y2 12．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则点P与双曲线两焦点连线构成的 25915 三角形的面积为________． 解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，又由椭圆与双曲线的定义，得 ??|PF1|＋|PF2|＝10， ? ??||PF1|－|PF2||＝215， 所以|PF1|＝5＋15，|PF2|＝5－15，或|PF1|＝5－15，|PF2|＝5＋15. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2|?5＋15?2＋?5－15?2－824 ＝＝， 52×?5＋15??5－15? 3 所以sin∠F1PF2＝. 5因此△PF1F2的面积 1 S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 213＝×(5＋15)×(5－15)×＝3. 25答案：3 三、解答题 13．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求C的圆心轨迹L的方程． 解析：依题意得两圆的圆心分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a<|F1F2|＝25＝2c，所以C的圆心轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，焦距为25的双曲线，因此a＝2，c＝5，b2＝c2－a2＝1，故C的 x22 圆心轨迹L的方程为－y＝1. 4 x2y2 14．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． 916 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解析：(1)由双曲线的定义得|MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 由于c－a＝5－3＝2,10>2,22>2， 故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2|100－100 ＝＝0， 2|PF1|·|PF2| ∴∠F1PF2＝90°， 11 ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 22 能力提升 15.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判断△MF1F2的形状． x2y2 解析：(1)椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5.故可设双曲线 94 94?－＝1，22?xya2b2 方程为2－2＝1(a>0，b>0)．依题意得?解得a2＝3，b2＝2.故双曲线的标准方程 ab ??a2＋b2＝5. x2y2 为－＝1. 32 (2)不妨设M在双曲线的右支上， 则有|MF1|－|MF2|＝23. 又|MF1|＋|MF2|＝63， 解得|MF1|＝43，|MF2|＝23. 又|F1F2|＝2c＝25， 因此在△MF1F2中，|MF1|边最长， 由余弦定理可得cos∠MF2F1 |MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2＝ 2|MF2|·|F1F2|＝ ?23?2＋?25?2－?43?22×23×252＝－<0. 15 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形． →→ 16．已知△OFQ的面积为26，且OF·FQ＝m，其中O为坐标原点． →→ (1)设6 6→ (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|OF|＝c，m＝?－1? ?4? → c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的标准方程． ? 解析：(1)因为? →→|·|FQ|cos θ＝m，?|OF 46 所以tan θ＝. m 又6 1→→|OF|·|FQ|sin?π－θ?＝26，2 即tan θ的取值范围为(1,4)． x2y2→ (2)设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则FQ＝(x1－c，y1)，所以S△OFQ ab 1→46＝|OF|·|y1|＝26，结合题图知y1＝. 2c 6→→ 又OF·FQ＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝?－1?c2， ?4? 6 解得x1＝c， 4 3296→2 所以|OQ|＝x2c＋2≥12＝23， 1＋y1＝8c → 当且仅当c＝4时，|OQ|最小， 这时Q的坐标为(6，6)． 66?2??a2－b2＝1，?a＝4，因为?所以? 2 ?b＝12.???a2＋b2＝16， x2y2 于是双曲线的标准方程为－＝1. 412
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