第 课时：§ 一元二次不等式（）
【三维目标】：
一、知识与技能
.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；
.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
二、过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
三、情感、态度与价值观
.激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.
.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。 【教学重点与难点】：
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【学法与教学用具】：
. 学法：
.教学方法：诱思引探教学法
. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：课时 【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
2观察函数y?5x?10x?4.8的图象，可以看出，一元二次不等式5x?10x?4.8?0的
2解集就是二次函数y?5x?10x?4.8的图象（抛物线）位于x轴下方的点所对应的x值的集合．
因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．
第一步：解方程5x?10x?4.8?0，得x1?0.8,x2?1.2； 第二步：画出抛物线y?5x?10x?4.8的草图；
第三步：根据抛物线的图象，可知5x?10x?4.8?0的解集为{x|0.8?x?1.2}．
2222二、研探新知
求解一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)的过程，可用下图所示和流程图来描述：
开始 2输入a,b,c ??b2?4ac??0 x1?输出“解集为Φ” ?b???b??,x2? 2a2a输出“解集{x|x1?x?x2}” 结束 22
一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)与相应的函数y?ax?bx?c(a?0)、相应的方程ax?bx?c?0(a?0)之间的关系：
判别式 ??b2?4ac 2??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相等实根 ax?bx?c?02有两相异实根 ?a?0?的根 x1,x2(x1?x2) x1?x2?? b2a无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ?xx?x或x?x?12 ?b?xx???? 2a??? ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ?xx1?x?x2? ? 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例 解下列不等式：
（）x?7x?12?0； （）?x?2x?3?0；（）x?2x?1?0； （）x?2x?2?0．
2解：（）方程x?7x?12?0的解为x1?3,x2?4．根据y?x?7x?12的图象，可得
22222原不等式x?7x?12?0的解集是{x|x?3或x?4}．
（）不等式两边同乘以?1，原不等式可化为x?2x?3?0．方程x?2x?3?0的解
2为x1??3,x2?1．根据y?x?2x?3的图象，可得原不等式?x?2x?3?0的解集是
2222{x|?3?x?1}．
2（）方程x?2x?1?0有两个相同的解x1?x2?1．根据y?x?2x?1的图象，可得
22原不等式x?2x?1?0的解集为?．
2（）因为??0，所以方程x?2x?2?0无实数解，根据y?x?2x?2的图象，可得
2原不等式x?2x?2?0的解集为?．
思考：（）求解一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)的过程，怎样用流程图来描述？ （）求解一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)的过程，怎样用流程图来描述？ （）不等式ax?bx?c?0(a?0)和ax?bx?c?0(a?0)的解法？ 结论：
.一元二次不等式的解集：
（）不等式a(x?x1)(x?x2)?0(a?0)的解集为{x|x1?x?x2}
（）不等式a(x?x1)(x?x2)?0(a?0)的解集为{x|x?x1或x?x2}（其中x1?x2） .归纳解一元二次不等式的步骤：
（）二次项系数化为正数； （）解对应的一元二次方程； （）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（）写出不等式的解集． 即：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
例已知关于x的不等式x?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}，求实数m,n之值． 解：
2不等式x?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}，?x1??5,x2?1是
222222??5?1?m?m??4??． x2?mx?n?0的两个实数根，?由韦达定理知：???5?1?n?n??5例已知不等式ax?bx?c?0的解集为{x|2?x?3}求不等式cx?bx?a?0的解集．
22b?2?3???a?c?解：由题意 ?2?3?， 即
a??a?0??6ax2?5ax?a?0(a?0) ．
?b??5a?2?c?6a．代入不等式cx?bx?a?0得：?a?0?即6x?5x?1?0，?所求不等式的解集为{x|?2211?x??}． 32例已知一元二次不等式(m?2)x?2(m?2)x?4?0的解集为R，求m的取值范围． 解：
y?(m?2)x2?2(m?2)x?4为二次函数，?m?2
2二次函数的值恒大于零，即(m?2)x?2(m?2)x?4?0的解集为R．
m?2?m?2?0??m?2， 即?，解得： ???2???0?4(m?2)?16(m?2)?0?2?m?6?m的取值范围为{m|2?m?6}（m?2适合）．
拓展：．已知二次函数y?(m?2)x?2(m?2)x?4的值恒大于零，求m的取值范围．
．已知一元二次不等式(m?2)x?2(m?2)x?4?0的解集为?,求m的取值范围． ．若不等式(m?2)x?2(m?2)x?4?0的解集为?,求m的取值范围． 结论：一元二次不等式恒成立的情况： （）ax?bx?c?0(a?0)恒成立??2222?a?02；（）ax?bx?c?0(a?0)恒成立
???0?a?0 ????0?例 若不等式mx?2x?1?m?0对满足?2?m?2的所有m都成立，求实数x的取值范围
解：已知不等式可化为(x?1)m?(1?2x)?0．
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