【步步高】高中数学 综合检测二 新人教A版选修2-2

c·≤三式相加得

13

c＋

2

13

，

abc11

＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，

23332

∴a＋b＋c≤3.

19．证明 假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α

＝b，γ∩β＝c. ∵a∥c，∴a∥γ.

又∵a?α，且α∩γ＝b，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾． 因此b与c不可能共面，故b与c是异面直线． 20．解 依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．

125

(1)当m＝4时，f(x)＝4ln(x－1)＋x－6x－.

224x－7x＋10

f′(x)＝＋x－6＝ x－1x－1＝

2

x－x－x－1

. 令f′(x)>0，解得x>5，或1

可知函数f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f′(x)＝

4

＋x－(m＋2) x－1

x2－m＋x＋m＋6＝ x－1

若函数y＝f(x)有两个极值点，则

??1－m＋?m＋3??2>1.解得m>3.

Δ＝[－m＋

2

－m＋，

＋m＋6>0，

21．解 若存在常数a，b使等式成立，则将n＝1，n＝2代入上式，

1a＋1??3＝b＋2，有?144a＋2??3＋15＝2b＋2.

得a＝1，b＝4， 12即有＋＋…＋

1×33×5

2

2

n2

n－

n＋

n2＋n＝对于一切n∈N＋都成立． 4n＋2

证明如下：

11

(1)当n＝1时，左边＝＝，

1×331＋11

右边＝＝，所以等式成立．

4×1＋23

(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即 12＋＋…＋1×33×5

2

2

2

k2

k－

k＋

k2＋k＝， 4k＋2

当n＝k＋1时， 12＋＋…＋1×33×5

2

2

k2

k－

2

k＋

＋k＋k＋

2

k＋

k2＋k＝＋4k＋2

＝

k＋k＋

k＋

k＋1kk＋1

·(＋) 2k＋122k＋3

k＋12k2＋5k＋2＝· 2k＋1k＋

＝＝＝

k＋1

·2k＋1k＋k＋

2

k＋

k＋k＋

k＋

4k＋6＋k＋k＋＋2

，

也就是说，当n＝k＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．