十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题13 排列组合与二项式定理
一、选择题
1.(2019·全国3·理T4)(1+2x)(1+x)的展开式中x的系数为( ) A.12
B.16 C.20 D.24
2
4
3
【答案】A
31
(1+2x)(1+x)的展开式中x的系数为C4+2C4=4+8=12.故选A.
2
4
3
2.(2018·全国3·理T5) (x2+)的展开式中x的系数为( )
x4
25
A.10 B.20 C.40 D.80
【答案】C
rr
由展开式知Tr+1=C5(x)(2x)=C52x
25-r
-1r
r10-3r
2
.当r=2时,x的系数为C52=40.
4
2
2
3.(2017·全国1·理T6)(1+x2)(1+x)展开式中x的系数为( ) A.15
B.20 C.30 D.35
1
6
【答案】C
??
(1+x)的二项展开式通项为Tr+1=C6x,(1+
6
r16
(1+x))2??的展开式中含x的项的来源有两部分,一部分是
2
2
1×C6x=15x,另一部分是
2
2
1
??24×C6x=15x,故(1+
4
2
16
(1+x)的展开式中含)2??x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是
30.
4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)的展开式中xy的系数为( ) A.-80 B.-40 【答案】C
??
(2x-y)的展开式的通项公式Tr+1=C5(2x)(-y).
5
5-r5
33
C.40 D.80
r3当r=3时,x(2x-y)的展开式中xy的系数为C5×2×(-1)=-40;
5
33
2
3
2当r=2时,y(2x-y)的展开式中xy的系数为C5×2×(-1)=80.
5
33
3
2
故展开式中xy的系数为80-40=40.
5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 【答案】D
1
33
先把4项工作分成3份有A33=36种,故选D.
11
C24C2C1A22
种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有
11
C24C2C1A22
·
6.(2016·四川·理T2)设i为虚数单位,则(x+i)的展开式中含x的项为( ) A.-15x B.15x C.-20ix D.20ix 【答案】A
??
二项式(x+i)展开的通项Tr+1=C6xi,则其展开式中含x是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x的项为
6
6-rr4
4
4
4
4
4
64
2C6xi=-15x,故选A.
42
4
7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24
B.18
C.12 D.9
【答案】B
由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.
8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意
k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个 【答案】C
由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:
C.14个 D.12个
2
综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.
9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 C.60
B.48 D.72
【答案】D
要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.
10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 【答案】B
当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有
1313C2A4个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有C3A4个.故满足条件的五位数共有1313C2A4+C3A4=(2+3)A34=5×4×3×2×1=120个.故选B.
11.(2015·全国1·理T10)(x+x+y)的展开式中,xy的系数为( ) A.10
B.20 C.30
D.60
2552
【答案】C
??(x+x+y)=[(x+x)+y]的展开式通项为Tr+1=C5(x+x)y(r=0,1,2,…,5).
2
5
2
5
2
5-rr由题意,y的幂指数为2,故r=2.
2对应的项为C5(x+x)y=10(x+x)y.
2
32
2
32
????记(x+x)的展开式通项为Ts+1=C3(x)x=C3x(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为
2
3
23-ss6-s 3
110C3=30.
12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)(n∈N)的展开式中x的系数为15,则n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B
r(x+1)的展开式通项为Tr+1=Cnx.
n
n-r
n*2
令n-r=2,即r=n-2.
n-22则x的系数为Cn=Cn=15,解得n=6,故选B.
2
13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.2
12
n
B.2
11
C.2 D.2
109
【答案】D
37由条件知Cn=Cn,∴n=10.
∴(1+x)中二项式系数和为2,其中奇数项的二项式系数和为2
101010-1
=2.
9
14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 【答案】C
1122从6名男医生中选出2名有C6种选法,从5名女医生中选出1名有C5种选法,故共有C6·C5=2×1×5=75种选
D.150种
6×5
法,选C.
15.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 【答案】D
插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A34=24.故选D. 16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 【答案】B
14(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C4A4.因此不同的排法的种14数为A55+C4A4=120+96=216.
D.24
4
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