2019-2020年高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 第4讲 与函数
的零点相关的问题 理
函数零点的个数问题
1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.
x
2.(xx南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:
由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B.
3.(xx南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为 .
解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1,
当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1 ①若a=1,则f(x)的最小值为 ; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 . 解析: ①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0 当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个 零点, 则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2. 综上可知,满足条件的a的取值范围是 [,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(xx四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-,则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. x2 6.(xx河南郑州市一模)设函数f(x)=e+2x-4,g(x)=ln x+2x-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( A ) (A)g(a)<0 x 解析:考查函数y=e与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0 2 与y=5-2x的图象,得其交点的横坐标b应 满足1 利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题 2x 7.(xx河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x+ax-3)e(a为实数). (1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程; (2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值; x (3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2ef(x)成立,求实数a的取值范围. 2x 解:(1)当a=5时g(x)=(-x+5x-3)·e,g(1)=e. 2x g′(x)=(-x+3x+2)·e,故切线的斜率为g′(1)=4e. 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. (2)f′(x)=ln x+1, x f′(x) f(x) (0,) - 单调递减 0 极小值(最小值) (,+∞) + 单调递增 ①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f(t)=tln t, ②当0 x2 (3)由g(x)=2ef(x),可得2xln x=-x+ax-3, a=x+2ln x+, 令h(x)=x+2ln x+, h′(x)=1+-=. x h′(x) h(x) (,1) - 单调递减 1 0 极小值(最小值) (1,e) + 单调递增 h（）=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2. h(e)-h（）=4-2e+<0. 所以实数a的取值范围为（4,e+2+]. 2 8.(xx湖北八市联考)已知函数f(x)=ln(x+a)-x-x在x=0处取得 极值. (1)求实数a的值; (2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围. ′ 解:(1)f(x)=-2x-1, ′ 因为x=0时,f(x)取得极值,所以f(0)=0, 故-2×0-1=0,解得a=1, 经检验当a=1时,f(x)在x=0处取得极大值符合题意, 所以a=1. 2 (2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x-x, 由f(x)=-x+b, 2 得ln(x+1)-x+x-b=0, 2 令(x)=ln(x+1)-x+x-b, 则f(x)=-x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实数根. ′(x)=-2x+=, 当x∈(0,1)时,′(x)>0,于是(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,2)时,′(x)<0,于是(x)在(1,2)上单调递减; 依题意有 解得ln 3-1≤b 所以实数b的取值范围是[ln 3-1,ln 2+). 一、选择题 abx 1.(xx太原一模)已知实数a,b满足2=3,3=2,则函数f(x)=a+x-b的零点所在的区间是( B ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) ab 解析:因为实数a,b满足2=3,3=2, 所以a=log23>1,0 x 因为函数f(x)=a+x-b, x 所以f(x)=(log23)+x-log32单调递增, 因为f(0)=1-log32>0 f(-1)=log32-1-log32=-1<0, x 所以根据函数的零点存在性定理得出函数f(x)=a+x-b的零点所在的区间是(-1,0),故选B. 2.(xx凉山州模拟)设函数f(x)=|ln x|-的两个零点为x1,x2,则有( A ) (A)x1x2<1 (B)x1x2=1 (C)1 解析:由f(x)=|ln x|-=0,得|ln x|=, 作函数y=|ln x|与y=的图象如图. 不妨设x1 由图可知,x1<1 则ln x1<0,且|ln x1|>|ln x2|, 所以-ln x1>ln x2,则ln x1+ln x2<0,即ln (x1x2)<0, 所以x1x2<1. 故选A. 3.(xx蚌埠二模)函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是( D ) (A)(-∞,0] (B)(0,) (C)(,1) (D)(-∞,0]∪(1,+∞) 解析:因为f(1)=ln 1=0, 所以当x≤0时,函数f(x)没有零点, xx 故-2+a>0或-2+a<0在(-∞,0]上恒成立, xx 即a>2,或a<2在(-∞,0]上恒成立, 故a>1或a≤0.故选D. 4.(xx重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( A ) (A)(-,-2]∪(0,] (B)（-,-2]∪(0,] (C)(-,-2]∪(0,] (D)(-,-2]∪(0,] 解析:g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=m(x+1)的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)=和函数y=m(x+1)的图象,如图,当直线y=m(x+1)与y=-3,x∈(-1,0]和y=x,x∈(0,1]都相交时,0 2 与y=-3,x∈(-1,0]有两个交点时,由方程组消元得-3=m(x+1),即m(x+1)+3(x+1)-1=0,化简 2 得mx+(2m+3)x+m+2=0,当Δ=9+4m=0,即m=-时,直线y=m(x+1)与y=-3相切,当直线y=m(x+1)过点(0,-2)时,m=-2,所以m∈(-,-2].综上,实数m的取值范围是(-,-2)]∪(0,],故选A. 5.(xx湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, 2 f(x)=x-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( D ) (A){1,3} (B){-3,-1,1,3} (C){2-,1,3} (D){-2-,1,3} 解析:当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根, 2 由x-3x=x-3, 解得x=1或3; 当x<0时,由f(x)是奇函数得 2 -f(x)=f(-x)=x-3(-x), 2 即f(x)=-x-3x. 由f(x)=x-3得x=-2-(正根舍去).故选D. x 6.已知x0是函数f(x)=2+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( B ) (A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0 x 解析:函数y=2,y=在(1,+∞)都为单调增函数,
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