平面向量
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向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力
因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 【专题综合】
1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2020湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b)(1,?2)?2(?3,4)?(?5,6)，(a+2b)·c ?(?5,6)?(3,2)??3，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字
例2、(2020广东文)已知平面向量a?(1,2),b?(?2,m)，且a∥b，则2a?3b=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由a∥b，得m＝－4，所以，
2a?3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的?倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向
量垂直的坐标运算混淆
rruuuruuurruuurr例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，
uuuruuuruuurBF，BD， FD表示出来。
rr（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考
虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及构成平行四边形ABCO，
顶点A，B，C四点
AaBbCOFuuuruuuruuuruuuruuuruuurrr所以BA?BC?BA?AO?BO，BO=a＋b，uuurrrBO=a+b，
由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以
uuurOEE=
DuuurBFuuur=BO＋
ruuuuuruuuurrrrrrOF=BO+BA=a+b+a=2a+b，
ruuuruuuruuuruuurrruuuruuuruuuruuurrr同样在平行四边形 BCDO中，BD＝BC?CD＝BC?BO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BC?BArr＝b－a
rr点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 a，b表示，且可用规rrrr定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示。
uuur例4．已知?ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD。
uuuruuuruuur解析：设D(x,y)，则AD??x?2,y?1?,BD??x?3,y?2?,BC???b,?3?
uuuruuuruuuruuur∵AD?BC,BD?BC
??6?x?2??3?y?1??0?x?1得? ????3?x?3??6?y?2??0?y?1uuur所以AD???1,2?。
2. 向量与三角函数的综合问题
rrrra?(3sinx,cosx),b?(cosx,cosx) ,函数f(x)?2a?b?1
例5、（2020深圳福田等）已知向量
x?[, ]f(x)62时, 若f(x)?1,求x的值． (1)求的最小正周期; (2)当?2sin(2x?)f(x)?23sinxcosx?2cosx?1?3sin2x?cos2x6. 解：(1)
2???所以，T＝?.
??1?sin?2x???6?2， ?(2) 由f(x)?1,得
????7??5??x?[,]2x??[,]2x??x?
62，∴626 ∴66 ∴ 3 ∵
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.
tanC?37． ，B，C的对边分别为a，b，c，例6、（2020山东文）在△ABC中，角A（1）求cosC；
uuuruuur5CB?CA?2，且a?b?9，求c． （2）若
QtanC?37，?解：（1）
sinC?37cosC cosC??18． 18．
又QsinC?cosC?1 解得
22
QtanC?0，?C是锐角．
?cosC?uuuruuur55CB?CA??abcosC?2， 2， ?ab?20． （2）由
又Qa?b?9
?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．
?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。 3. 平面向量与函数问题的交汇
例7．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(
2
13, ).
22(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间
t2?23?33t2?23?2解：（1）法一：由题意知x＝(,),
22y＝(
31t－3k，t＋k)，又x⊥y
22t2?23?33t2?23?231故x · y＝×（t－3k）＋×(t＋k)＝0
2222整理得：t－3t－4k＝0，即k＝
3
133t－t. 4413法二：∵a＝(3，－1)，b＝(, ), ∴. a＝2，b＝1且a⊥b
22∵x⊥y，∴x · y＝0，即－ka＋t(t－3)b＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝
2
2
2
3
133t－t 44(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝
133333t－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t－, 4444令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用
[变式] 已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(
???31，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量c＝22y C Q a C A a A B P 例7图 O B x ???????a＋(sinα－3)b, d＝－ka＋(sinα)b,且c⊥d，试求实
数k 的取值范围。
[点拨] 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
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