“四省八校”2021 届高三第一学期开学考试
数学（理科）
命审单位：四川省南充高级中学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合M ? (x, y) | lg(x ? y) ? lg(2x) |, N ? ?(x, y∣) (x ?1)2 ? y2 ? 1?, 则M N 中元素个数为
2020.9
?D. 3
z 2
? 2. i 是虚数单位，若复数 Z 满足 ， Z 是Z 的共筑复数，则Z ? Z ??
1? 3i 3 ? i
A. 0 B. 1 C. 2
?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.若向量
a ? (1, x), b ? (?2,1? x) 均为直线l 的方向向量，则cos?a, b? ??
?
A. 1
2
B.
2
C. 0 D. ?1
4.具有线性相关关系的两个变量 x, y 的取值如下表
x y 1 5 2 t 3 m 4 10 5 12 其回归直线 y? ? bx ? a? 经过点(3,8) 的一个充分不必要条件是
A. t ? m ? 13
B. t ? m ? 6 C. t ? m ? 7 D. t ? 6, m ? 7
5.抛物线C : x2 ? 4 y 上一点 P 到C 的焦点 F 的距离为 4， 若直线 PF
与C 的另一个交点为Q ，则 QF 等于
1 2 4 A. B. C. D. 2
3 3 3 6 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的四边形都足边长相等的.
正方形，则在该几何体中，直线 AB 与直线CD 所成角为 ? ?A. B. ?6 3
1
C.
?
2
D.
2??3
7 P 是双曲线 x2 ? y2 ? 1上一点，以线段 PO ( O 为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别 .
交于不同于原点的 A, B 两点，则四边形 PAOB 的面积为
A. 1 3
B. 1 2
C.1
D. 2
8.设 P1 , P2 是两个命题 P1 : ?x ? R. | x | | sin x | .P2 : ?T ? R 且T ? 0, ?x ? R, sin | x ? T |? sin | x | (x ? R) 则下列为其命题的是
A. P 1 ? ?P2
B. ?P 1 ? P2
C. P1 ? P2
D. ?P ? ?1 P2
9.若? 是△ABC 的一个内角，且cos? ?? 1
，则下列结论错误的是
3
A. sin? ?
2 2
cos 2? ?? 7
D. sin 2? ??
4 2
3
B. tan ? ? ?2 2
C.9
9
10.公差非零的等差数列?an?满足 a3 ? a8 , 则下列结论正确的是
A. S11 ? 0
B. Sn ? S11?n (1 n 10)
C. 当 S11 ? 0 时 Sn S5
D. 当S11 ? 0 时Sn
S5
11.函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? c, 若 f (1? x) ? f (1? x) ? 2 ，则下列不等关系正确的是
A. f (ln 2) ? f (ln 4) ? 2 B. f (?2) ? f (5) ? 2
C. f (ln 2) ? f (ln 3) ? 2 D. f (?1) ? f (2) ? 2
12.直线l : y ? m ?m 为常数)与曲线 E : y ?| ln x | 交 A, B 两点，曲线 E 分别在 A, B 两点处的切线l1 , l2 分
别与 y 轴交于C, D 两点，直线l1 , l2 交于点M 则| MC ? MD |??A. m
B. 1
C. m ? 2
D. 2
二、填空题 : 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知随机变量? 服从二项分布 B(n, p), 若 E(? ) ? 12, D(? ) ? 3 ，则n ???.
?14.已知实数 x, y 满足?x?? 0
，若 z ? 3x ? y 的最大值为 9 ，则a ? .
??
y 0
??
y ? 2x ? a 2
15.已知(x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 ，则 x ??y 的取值范围为
.
16.设无穷数列?an?的前n 项和为 Sn ，下列有三个条件
2
① am?n ? am ? an ，② Sn ? an?1 ?1, a1 ? 0
1
③ S ? 2a ? ( p 是与n 无关的参数)从中选出两个条件，能使数列?a ?为唯一确定的等比数列的条
n n n
p
件是 .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. ( 12 分) 在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，且 AB ? 2.
? （1）若?ADB ? ，求△ABC 面积的最大值
3 （2）若 AC ? 4, BC ? 3 ，求 AD .
18.（12 分）据我国一项专题调查显示，某市高级职称的中年知识分子中竟有高达 75.3%的人处于亚健康状态，更令人担忧的是 85%以上的企业管理者处于慢性疲劳状态或亚健康状态，这是由他们所处的特殊工作，生活环境和行为模式所决定的.亚健康是指非病非健康的一种临界状态，如果这种状态不能及时得到纠正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司为了了解亚健康与性别的关系，对本公司部分员工进行了不记名问卷调查.该公司处于正常工作状态的员工（包括管理人员）共有 8000 人，其 中男性员工有 6000 人，女性员工有 2000 人，从 8000 人中用分层抽样的方法随机抽取了 400 人的样本，以调查健康状况
（2）通过不记名问卷调查方式，得到如下等高条形图：
其中a ? 0.2, b ? 0.1，根据以上等高条形图，完成下列2 ? 2 列联表
健康 男员工 女员工 总计 亚健康 总计 400
n(ad ? bc)2 2
, n ? a ? b ? c ? d 参考公式： K ?
(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 参考数据：
P0 (K ? k0 ) k0
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 3
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