机械振动和机械波
一、知识结构
周期性运动阻尼振动特征变加速运动机械能守恒机械振动简谐振动受迫振动弹簧振子单摆振动描写物理量振幅A、频率f、周期T描述方法图象法振动在媒质中传递共振周期公式（测g）形成与特征描写物理量简谐波波动特征 周期、频率波速波长 λ=vT=v/f机械波传播规律波形、图象波的干涉波的衍射二、重点知识回顾 1机械振动
（一）机械振动
物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。
（二）简谐振动
1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－kx，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
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1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。
（五）振动图象。
简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。 （六） 机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析
（1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动，受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。
（2）在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振，声音的共振现象叫做共鸣。 2机械波中的应用问题
1. 理解机械波的形成及其概念。
（1）机械波产生的必要条件是：<1>有振动的波源；<2>有传播振动的媒质。
（2）机械波的特点：后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。
（3）机械波运动的特点：机械波是一种运动形式的传播，振动的能量被传递，但参与振动的质点仍在原平衡位置附近振动并没有随波迁移。 （4）描述机械波的物理量关系：v??T???f
注：各质点的振动与波源相同，波的频率和周期就是振源的频率和周期，与传播波的介质无关，波速取决于质点被带动的“难易”，由媒质的性质决定。 2. 会用图像法分析机械振动和机械波。 振动图像，例： 波的图像，例： 振动图 像与波 的图像 的区别
横坐标表示质点的振动时间 横坐标表示介质中各质点的平衡位置 表征单个质点振动的位移随时间变表征大量质点在同一时刻相对于平衡位化的规律 置的位移 相邻的两个振动状态始终相同的质相邻的两个振动始终同向的质点间的距点间的距离表示振动质点的振动周离表示波长。例：??8m 期。例：T?4s 2
振动图像随时间而延伸，而以前的波动图像一般随时间的延续而改变形状保持不变，例： （?t?kT）时的波形图保持不变，例：
方法1 方法2 平移波形法：如图所示，一列横波向右质点振动比较法：波向右传播，右边M 传播，判断M点的振动方向。设想在点的振动落后于左边的P点，故M点重质点振 极短时间内波向右平移，则下一刻波形复P点的振动，P点在M点的下方，应动方向 如虚线上M正下方向的M’点，由此知“追随”P点的运动，故M点向下振动，与 M点应向下振动。反之，已知M向下即“波向右传，M点向下运动”；“波向振动，波形应该右移，故波是向右传播左传，M点向上运动”。 的。 波传播方向的 判定 三、【典型例题分析】
【例1】单摆的运动规律为：当摆球向平衡位置运动时位移变___，回复力变____，加速度变 ，加速度a与速度υ的方向 ，速度变 ，摆球的运动性质为_____________________，摆球的动能变_____，势能变___；当摆球远离平衡位置运动时位移变___，回复力变___，加速度变___，加速度a与速度υ的方向____，速度变___，摆球的运动性质为_____________________，摆球的动能变____，势能变_____ 沙摆实验1、简谐振动2
【例2】 如图6－1所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s， M A 过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通
O 过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做B 简谐运动的过程中：（1）周期为 ；（2）振幅N 为 ；（3）小球由M点下落到N点的过程中，动能EK、重力势能EP、弹性势能EP’的变化
图6-1 为 ；（4）小球在最低点N点的加速度
大小 重力加速度g（填>、＝、<）。
分析：（1）小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，tAO=tBO=0.5s, tBN = tNB =0.5s，所以tON＝tOB＋tBN＝1s，因此小球做简谐运动的周期T＝4tON=4s。
（2）小球从A经B到N再返回B所经过的路程，与小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅为3cm。
（3）小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。
（4）M点为小球的振幅位置，在该点小球只受重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对称性可知，在另一个振幅位置（N点）小球的加速度大小为g，方向竖直向上。
解答：4s；3cm；EK先增大后减小，EP减少，EP’ 增加；＝。
说明：分析解决本题的关键是正确认识和利用简谐运动的对称性，其对称中心是平衡位置O，尤其小球在最低点N点的加速度值，是通过另一个振动最大位移的位置M来判断的。
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如果小球是在离弹簧最上端一定高度处释放的，而且在整个运动过程中，弹簧始终处于弹性形变中，那么小球与弹簧接触并运动的过程可以看成是一个不完整的简谐运动。因为小球被弹簧弹起后，在弹簧处于原长时与弹簧分离，这个简谐运动有下方振动最大位移的位置，但无上方振动最大位移的位置，那么小球在运动过程中的最大加速度将大于重力加速度。
【例3】 已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：（1）该单摆的周期为 ；（2）若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1／4倍的星球表面，则其振动周期为 ；（3）若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为 。
分析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。
解答：（1）依据T?2?L，可得T=2s。 g （2）等效重力加速度为g'?g/4，则依据T'?2?L，可得T'?4s。 g' （3）钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L1＝1m，另半周期摆长为L2＝0.5m。 则该小球的摆动周期为： T''??L1L22?2s ???gg2说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期
公式。应该特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速度。这类问题将在电学中遇到。
【例4】一弹簧振子做简谐运动，振动图象如图6—3所示。振子依次振动到图中a、b、c、d、e、f、g、h各点对应的时刻时，（1）在哪些时刻，弹簧振子具有：沿x轴正方向的最大加速度；沿x轴正方向的最大速度。（2）弹簧振子由c 点对应x轴的位置运动到e点对应x轴的位 x/cm b 置，和由e点对应x轴的位置运动到g点对应x轴
7 a c 的位置所用时间均为0.4s。弹簧振子振动的周期是
t/s d h 多少？（3）弹簧振子由e点对应时刻振动到g点0 对应时刻，它在x轴上通过的路程是6cm，求弹簧-7 g e 振子振动的振幅。 f 分析：（1）弹簧振子振动的加速度与位移大小
图6-3
成正比，与位移方向相反。振子具有沿x轴正方向
最大加速度，必定是振动到沿x轴具有负向的最大位移处，即图中f点对应的时刻。
振子振动到平衡位置时，具有最大速度，在h点时刻，振子速度最大，再稍过一点时间，振子的位移为正值，这就说明在h点对应的时刻，振子有沿x轴正方向的最大速度。
（2）图象中c点和e点，对应振子沿x轴从+7cm处振动到－7cm处。e、f、g点对应振子沿x轴，从－7cm处振动到负向最大位移处再返回到－7cm处。由对称关系可以得出，振子从c点对应x轴位置振动到g点对应x轴位置，振子振动半周期，时间为0.8s，弹簧振子振动周期为T=1.6s。
（3）在e点、g点对应时间内，振子从x轴上－7cm处振动到负向最大位移处，又返回－7cm处行程共6cm，说明在x轴上负向最大位移处到－7cm处相距3cm，弹簧振子的振幅
4
A=10cm。
解答：（1）f点；h点。（2）T=1.6s。（3）A=10cm。
说明：本题主要考察结合振动图象如何判断在振动过程中描述振动的各物理量及其变化。讨论振子振动方向时，可以把振子实际振动情况和图象描述放在一起对比，即在x 轴左侧画一质点做与图象描述完全相同的运动形式。当某段图线随时间的推移上扬时，对应质点的振动方向向上；同理若下降，质点振动方向向下。振动图象时间轴各点的位置也是振子振动到对应时刻平衡位置的标志，在每个时刻振子的位移方向永远背离平衡位置，而回复力和加速度方向永远指向平衡位置，这均与振动速度方向无关。因为振子在一个全振动过程中所通过的路程等于4倍振幅，所以在t时间内振子振动n个周期，振子通过的路程就为4nA。
【例6】 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，以下说法正确的是（ ）
A. 若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
x B. 若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C. 若Δt＝T/2，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加t 0 t1 t2 t3 速度大小一定相等 t4 D. 若Δt＝T/2，则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等 图6-4 分析：如图6－4所示为物体做简谐运动的图象。由图
象可知，在t1、t2两个时刻，振子在平衡位置同侧的同一位置，即位移大小相等，方向相同，而?t?t2?t1?T， 所以选项A错误。
在t1时刻振子向远离平衡位置方向振动，即具有正向速度，在 t2时刻振子向平衡位置方向振动，即具有负向速度，但它们速度大 小相等。而?t?t2?t1?T。所以选项B错误。 2因为?t?t4?t1?T，振子在这两个时刻的振动情况完全相同，所以具有相同的加速度，选项C正确。
因为?t?t3?t1?T，振子在这两个时刻位于平衡位置的两侧，即若t1时刻弹簧处于2伸长状态，则t3时刻弹簧处于压缩状态。所以选项D错误。 解答：选项C正确。
说明：做简谐运动的物体具有周期性，即物体振动周期的整数倍后，物体的运动状态与初状态完全相同。做简谐运动的物体具有对称性，即描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）在关于平衡位置对称的两点上都相等，但矢量的方向不一定相同。做简谐运动的物体具有往复性，即当物体振动回到同一点时，描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）相同，但矢量的方向不一定相同。
【例7】在某介质中，质点O在t＝0时刻由平衡位置开始向上振动。经0.1s第一次向上振动到最大位移处。同时，产生的横波水平向右传播了50cm。在O点右侧有一点P，与O点相距8m。求：（1）这列横波的波速；（2）波动传播到P点，P点刚开始振动时的速度方向；（3）从O点开始振动到P点第一次到达波峰位置所需时间？
分析：由题目所给条件可知：振源在0.1s内振动了1／4周期，波对应向右传播1／4个波长，从而可以确定波长和周期，进而求出波速。因为波匀速向前传播，所以波从O点传播到P点所用时间＝OP距离／波速。当波传播到P点时，O点的振动形式也传播到了P点，因而P点的起振方向与O点起振方向相同，即为竖直向上，P点由平衡位置第一次到达波峰还在需要
1T时间。 45
解答：（1）由题意知：周期T=0.1×4=0.4(s)
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