第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
一、选择题
x2y2
1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该
ab双曲线的实轴的长为( )
A．1 C．2
B．3 D．23
解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为即c－a＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
2
2
bc＝b＝3，a2＋b2
ca2．若抛物线y＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) 1A． 23C． 2
B．1 D．2
2
2
解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y0＝4×1，解得
y0＝±2，不妨取P(1，2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，
42
12
x2y2
O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
32A．
4C．22
32B．
2D．32
2
解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c＝6，所以|OF|＝6. 又tan∠POF＝＝＝32
. 4
ba262313，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝×6×222222
x2y2
4．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短
ab|AF1|
轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )
|AF2|
- 1 -
1A． 32C． 3
1B． 2D．3
解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，
a3a|AF1|1
所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.
22|AF2|3
x2y2
5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，
ab→→
过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝( )
A．1 C．3
B．2 D．2
→→
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF＝3FB，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴
x2y2
长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝3t，所以2＋2＝1.设直线AB4tt的方程为x＝sy＋3t，代入上述椭圆方程，得(s＋4)y＋23sty－t＝0，所以y1＋y2＝－23stt23stt122
，yy＝－，即－2y＝－，－3y＝－，得s＝，k＝2，故选D. 1222
s2＋4s2＋4s2＋4s2＋42
6．(多选)设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则( )
A．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3
B．|BF|＝3
D．抛物线C的方程为y＝6x
2
2
2
2
2
2
2
解析：选ACD.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为
32
|BF|＝93，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛4
2
物线的方程为y＝6x.
二、填空题
x2y2
7．已知P(1，3)是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率
ab是________．
解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，3)是双曲线C渐近线上的点，则
babac＝3，所以离心率e＝＝
a
a2＋b2
＝a2b2
1＋2＝2. a- 2 -
答案：2
8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在
3620第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2
为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，
＋＝1，
3620??|FM|＝（x＋4）＋y＝64，?x＝3，则?得?
?y＝15，
x>0，??y>0，
2
2
2
1
x2y2
x2y2
所以M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)
9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－3
2
x2
y2
3
＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐
近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点坐标为?0，?，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可
2?2?得－＝1，解得x＝±
312×2?
p?
px2p2
33
3＋.因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即
422
p2
3＋＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y＝±x，则抛
4
3
32＝.
22
p2物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32
2
答案：6
三、解答题
x2y2
10．(2019·高考天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的
ab短轴长为4，离心率为
5. 5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
- 3 -
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