[90，100] 总计 9 t 0.18 1 （1）求表中t，q及图中a的值；
（2）该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行面批，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用频率计算公式、频率分布直方图的性质即可得出．
（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人．由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=
，即可得出．
=50，m=50×0.10=5，n=
=0.26，
【解答】解：（1）由表格可知：全班总人数t═3+5+13+9+p=50，解得p=20，q=
=0.4．a=
=0.026．
（2）由表格可知：区间[50，60）中有3人，区间[60，70）中有5人． 由题意可得：X=0，1，2，3．则P（X=k）=
，可得P（X=0）=
，P（X=1）=
，P（X=2）
=，P（X=3）=．
随机变量X的分布列如下：
X P 数学期望EX=0×
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=60°，∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC=2，点O是BC的中点．
（1）求证：BC⊥平面A1AO；
（2）若A1O=1，求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值．
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0 1 2 3 +1×+2×+3×=．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）连接A1C，证明BC⊥A1O，OA⊥BC，即可证明BC⊥平面A1AO；
（2）若A1O=1，求出B1到平面A1BC1距离，即可求直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：连接A1C，则 ∵∠A1AC=∠A1AB，AA1=AB=AC， ∴△A1AC=△A1AB，∴A1C=A1B， ∵点O是BC的中点， ∴BC⊥A1O，
∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴OA⊥BC， ∵A1O∩OA=O， ∴BC⊥平面A1AO；
（2）解：由（1）可得BC⊥A1A，∴四边形BCC1B1是矩形， ∴C1B=2
，
，
=，
，
=
，
=
，
∵A1C1=2，A1B=∴cos∠A1BC1=∴sin∠A1BC1=∴
=
设B1到平面A1BC1距离为h，则∴h=
，
∴直线BB1与平面A1C1B所成角的正弦值==．
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20．已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0）．
（1）求椭圆E的方程；
PB、PC为椭圆E的三条弦，PA、PB所在的直线分别与x轴交于点M，N，（2）若PA、且|PM|=|PN|，PC∥AB，求直线PC的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），列出方程组，求出a=2，b=由此能求出椭圆E的方程．
，
（2）设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），联立
，得（3+4k2）x2+4k
（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此利用韦过定理，求出﹣k代替k，得线PC的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆E：
+
，yA=，用
，
，从而得到kAB=，再由PC∥AB，能求出直
=1（a＞b＞0）过点P（1，），且一个焦点为F1（﹣1，0），
∴，又a＞b＞0，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为=1．
（2）由题意知直线PA的斜率存在，
设PA：y=k（x﹣1）+，A（xA，yA），B（xB，yB），
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联立
，得（3+4k2）x2+4k（﹣2k+3）x+4k2﹣12k﹣3=0，
∴，
∴， =，
∵|PM|=|PN|，∴直线PB的斜率为﹣k， 用﹣k代替k，得
，
，
==，
又∵PC∥AB，∴直线PC的方程为y﹣（x﹣1），即x﹣2y+2=0．
21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣4x（a∈R）． （1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1＞0）是曲线y=f（x）上的两点，x0=
，问：是否
存在a，使得直线AB的斜率等于f′（x0）？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得函数的导数，讨论判别式和a的范围，分a＞2，0＜a＜2，a≤0，利用导函数分别大于0和小于0求得x的范围即可得到单调区间； =f′（2）由题意求出kAB和f′（x0）（令h（t）=lnt﹣
），由两式相等化简，令
，则t＞1，则lnt=
，
（t＞1），利用导数说明该函数无零点即可说明不存在实数a，使得直线
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