高中数学必修5知识点总结
第一章：解三角形
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则
abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；
abc②sin??，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；
a?b?cabc???④．
sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin?．
222有
4、余 定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，
222222c2?a2?b2?2abcosC．
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c25、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．
2bc2ab2ac6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90为直角三角形；
②若a?b?c，则C?90为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90为钝角三角形．
222222??222?第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若
b?a?c，则称b为a与c的等差中项． 213、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d．
通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?an?a1a?a1?1；；④n?nn?1dan?am．
n?m14、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等
差数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①Sn?n?a1?an?n?n?1?d． ；②Sn?na1?22*16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，
??S奇San（其?n．②若项数为2n?1?n??*?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，奇?S偶an?1S偶n?1中S奇?nan，S偶??n?1?an）．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，
则称G为a与b的等比中项．
19、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1． 20、通项公式的变形：①an?amqn?m；②a1?anq??n?1?2；③qn?1?anan?m；④q?n． a1am21、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等比
2数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连
续m项和构成的数列成等比数列。
?na1?q?1??22、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．
1n??q?1??1?q?1?q q?1时，Sn?a1a?1qn，即常数项与qn项系数互为相反数。 1?q1?q*23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则
??S偶S奇?q．
②Sn?m?Sn?q?Sm． ③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．
n
24、an与Sn的关系：an????Sn?Sn?1?n?2?
?n?1???S1
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aqn?b，q为相除后的常数，列两个方程求解； 2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为an?1?an?d形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为an?1?an?f(n),形式，可用叠加法求解；
③若化简后为an?1?an?q形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为an?1?kan?b形式，则可化为(an?1?x)?k(an?x)，从而新数列{an?x}是等比数列，用等比数列求解{an?x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：
①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。 4、其他
（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；
例如：an?an?1?n?1 有：an?an?1?n?1
a2?a1?3a3?a2?4?an?an?1?n?1各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1n?4??n?1???2
（2）an?an?1?anan?1形式，同除以anan?1，构造倒数为等差数列；
?1?an?an?111例如：an?an?1?2anan?1，则?2??，即??为以-2为公差的等差数列。
anan?1an?1an?an?（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：构造：an?x?q?an?1?x?为等比数列；
例如：an?2an?1?2，通过待定系数法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比为2。 （4）an?qan?1?pn?r形式：构造：an?xn?y?qan?1?x?n?1??y为等比数列；
??（5）an?qan?1?pn形式，同除pn，转化为上面的几种情况进行构造；
因为an?qan?1?pn，则
anqan?1q??1?1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的，若nn?1pppp方法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若??ak?0?a1?0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足?
?d?0?ak?1?0?ak?0?a1?0②若?，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足?
d?0a?0??k?1三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an??2n?1??3；
n③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
an?11111?11???，an?等； ???n?n?1?nn?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
an?2n?n?1等；
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和a类型，这样可以相乘约掉。 q
第三章：不等式
1、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．
比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。
2、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c；
④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?a?b⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?．
3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
nn?n??,n?1?；
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式??b2?4ac
??0 ??0 ??0
二次函数
y?ax2?bx?c ?a?0?的图象
有两个相异实数根
有两个相等实数根
一元二次方程ax2?bx?c?0
?a?0?的根
ax2?bx?c?0 ?a?0?
ax2?bx?c?0 ?a?0?
?b??x1,2?2a?x1?x2?
1x1?x2??b 2a没有实数根
?xx?x或x?x?2一元二次不等式的解集
?b?xx????
2a???
R
?xx1?x?x2?
?
5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．
8、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?．
①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方．
9、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．
①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线
?x??y?C?0下方的区域．
②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线
?x??y?C?0上方的区域．
10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
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