(完整)2019年高考真题解答题专项训练：极坐标与参数方程(教师版)

2019年高考真题解答题专项训练：极坐标与参数方程(教师版）

1．（2019.江苏卷）在极坐标系中，已知两点A?3,???????,B2,???，直线l的方程为4??2??sin?????3.

4?（1）求A，B两点间的距离； （2）求点B到直线l的距离. 【答案】（1）5； （2）2. 【解析】 【分析】

(1)由题意，在△OAB中，利用余弦定理求解AB的长度即可；

(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线l的距离. 【详解】

（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，

??????），B（2，）， 42???)?5. 24由余弦定理，得AB=32?(2)2?2?3?2?cos(（2）因为直线l的方程为?sin(??)?3，

?4则直线l过点(32,)，倾斜角为

?23?． 4又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(32?2)?sin(【点睛】

?23???)?2. 42本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

B(2,)，C(2,2．（2019.全国三卷）如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，

?所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,?，CD弧?AB，BC?. ?，曲线M3是弧CD曲线M2是弧BC?4??D(2,?)，)，4?2)，(1,?)，曲线M1是弧?AB，

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（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标. 【答案】(1) ??2cos?(??[0,??3?]),??2sin?(??[,]),4443?,?]), 4??2?5?(2) (3,),(3,),(3,),(3,).

3366???2cos?(??[【解析】 【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中?的取值范围.

(2)根据条件??【详解】

(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.

3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.

M1:??2cos?(??[0,])，

4???3?M2:??2cos(??)?2sin?(??[,]),

2443?M3:??2cos(???)??2cos?(??[,?]).

4(2)解方程2cos??3(??[0,解方程2sin??3(??[?4])得???6，此时P的极坐标为(3,或???6)

?3?44,])得???3?2?，此时P的极坐标为(3,)或

33(3,2?) 35?3?5?,?])得??) ，此时P的极坐标为(3,466??2?5?),(3,). 故P的极坐标为(3,),(3,),(3,3366解方程?2cos??3(??[【点睛】

此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.

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3．（2019.全国二卷）在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线

C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

（1）当?0=

?

时，求?0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）?0?23，l的极坐标方程为?sin(???6)?2；（2）

????4cos?(???)

42【解析】 【分析】

（1）先由题意，将?0=?代入??4sin?即可求出?0；根据题意求出直线l的直角坐3标方程，再化为极坐标方程即可；

（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】

（1）因为点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，

所以?0?4sin?0?4sin即M(23,?3?23；

?3)，所以kOM?tan?3?3，

因为直线l过点A(4,0)且与OM垂直， 所以直线l的直角坐标方程为y??3(x?4)，即x+3y?4?0； 3因此，其极坐标方程为?cos??3?sin??4，即l的极坐标方程为

??sin(??)?2；

6（2）设P(x,y)，则kOP?yy， kAP?， xx?4由题意，所以kOPkAPOP?AP，

y222??1，故2整理得x?y?4x?0， ??1，

x?4x因为P在线段OM上，M在C上运动，所以0?x?2,2?y?4，

2所以，P点轨迹的极坐标方程为??4?cos??0，即??4cos?(?4????2).

【点睛】

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本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

?1?t2x?，??1?t24．（2019.全国一卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参

?y?4t?1?t2?数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

y2【答案】（1）C:x?（2）7 ?1,x?(?1,1]；l:2x?3y?11?0；

42【解析】 【分析】

（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 （1）由x?1?x1?t2t??0,x?(?1,1]，又y?2 得：221?t1?x1?t??2216t21?x1?x?4?1?x??1?x??4?4x2?y2? 2?1?x??1???1?x?16?y2整理可得C的直角坐标方程为：x??1,x?(?1,1]

42又x??cos?，y??sin?

?l的直角坐标方程为：2x?3y?11?0

（2）设C上点的坐标为：?cos?,2sin??

???4sin?????11 2cos??23sin??11则C上的点到直线l的距离6??d??77试卷第4页，总5页

???sin??当????1时，d取最小值

6??则dmin?7 【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

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