3
∴B1H＝.又B1G＝1，
2B1G2∴＝. B1H3FC2
又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°， BC3
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.
又由(1)知，A1G∥BE，且A1G?平面A1GH，HG?平面A1GH，BF?平面A1GH，BE?平面A1GH，
∴BF∥平面A1GH，BE∥平面A1GH.
又∵BF∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F. 8. (2013·福建文)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
→
(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； (3)求三棱锥D－PBC的体积． 答案 (1)略 (2)略 (3)83
解析 方法一： (1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3.在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理，得BE＝3，从而AB＝6.
又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD.
从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°， 得PD＝43.正视图如图所示．
(2)取PB中点N，连接MN，CN.
在△PAB中，∵M是PA中点，
1
∴MN∥AB，MN＝AB＝3.
2
又CD∥AB，CD＝3， ∴MN∥CD，MN＝CD.
∴四边形MNCD为平行四边形． ∴DM∥CN.
又DM?平面PBC，CN?平面PBC， ∴DM∥平面PBC.
1
(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，
3
又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD－PBC＝83. 方法二：(1)同方法一．
(2)取AB的中点E，连接ME，DE.
在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴DE∥BC.
又DE?平面PBC，BC?平面PBC， ∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中，ME∥PB，ME?平面PBC，PB?平面PBC， ∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM?平面DME，∴DM∥平面PBC. (3)同方法一．
9.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
答案 当M为AC中点时，BM∥平面AEF.
解析 方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.
∵侧棱A1A⊥底面ABC， ∴侧面A1ACC1⊥底面ABC. ∴OM⊥底面ABC. 又∵EC＝2FB，
1
∴OM∥FB綊EC.
2
∴四边形OMBF为矩形． ∴BM∥OF.
又∵OF?面AEF，BM?面AEF，
故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.
∴PQ∥AE.∵EC＝2FB， ∴PE綊BF，PB∥EF.
∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF. 又PQ∩PB＝P，
∴平面PBQ∥平面AEF.
又∵BQ?面PQB，∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点． 10．(2016·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF； (2)求多面体A—CDEF的体积．
8
答案 (1)略 (2) 3
解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，
DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.
取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，
∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF. (2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝2.
118
∴VA－CDEF＝S四边形CDEF·AH＝×2×22×2＝.
333
11．(2016·衡水中学调研)
如图所示，在几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.
(1)求几何体ABCDFE的体积； (2)证明：平面ADE∥平面BCF.
83
答案 (1) (2)略
3
解析 (1)取BC的中点为O，ED的中点为G，连接AO，OF，FG，AG. ∵AO⊥BC，AO?平面ABC，平面BCED⊥平面ABC， ∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED. ∵AO＝FG＝3，
183
∴VABCDFE＝×4×3×2＝.
33
(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，
∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE?平面ADE，
AG?平面ADE，FO∩BC＝O，FO?平面BCF，BC?平面BCF， ∴平面ADE∥平面BCF.
1．下列命题中正确的是________． ①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． 答案 ⑤⑥
解析 a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a?α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确． 2．(2013·浙江文)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β 答案 C
解析 A项中，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D项中，m也可能平行于β.故选C项． 3. (2015·山东文)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
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