＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：平面PDC⊥平面PAD； (3)求四棱锥P—ABCD的体积．
2
答案 (1)略 (2)略 (3) 3
解析 (1)如图所示，连接AC.
∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点， ∴F也是AC的中点．
又E是PC的中点，EF∥AP，
∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)证明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD.
∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD. (3)取AD的中点为O.连接PO.
∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形， ∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高． ∵AD＝2，∴PO＝1.又AB＝1，
12
∴四棱锥P—ABCD的体积V＝PO·AB·AD＝.
33
8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.
(1)求证：BB1⊥平面ABC； (2)求证：BC1∥平面CA1D； (3)求三棱锥B1－A1DC的体积．
4
答案 (1)略 (2)略 (3) 3
解析 (1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB.
又∵CD⊥DA1，
∴CD⊥平面ABB1A1.
∴CD⊥BB1.
又BB1⊥AB，AB∩CD＝D， ∴BB1⊥平面ABC.
(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点． 又D是AB的中点，则DE∥BC1.
又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D.
(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B， 故CD是三棱锥C－A1B1D的高． 在Rt△ACB中，AC＝BC＝2， ∴AB＝22，CD＝2.又BB1＝2，
1114
∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝S△A1B1D·CD＝A1B1×B1B×CD＝×22×2×2＝.
3663
9. (2016·江苏泰州期末)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．
求证：(1)直线OG∥平面EFCD； (2)直线AC⊥平面ODE. 答案 (1)略 (2)略
证明 (1)∵四边形ABCD是菱形，∴点O到BD的中点． ∵点G为BC的中点，∴OG∥CD. ∵OG?平面EFCD，CD?平面EFCD， ∴直线OG∥平面EFCD.
(2)∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC.
∵平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG?平面BCF，FG⊥BC，∴FG⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴FG⊥AC.
11
∵OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB，EF＝AB，
22
∴OG∥EF，OG＝EF，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO. ∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO.
∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO，DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE. 10．(2015·新课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
6，求该三棱锥的侧面积． 3
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为答案 (1)略 (2)3＋25
解析 (1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.又BE，BD?平面ABCD，BE∩BD＝B，故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得
3x
AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
22
3
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
2
2
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.
2
1166
由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC×GD×BE＝x3＝.故x＝2.
32243
从而可得AE＝EC＝ED＝6.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5. 故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋25. 11．如图所示，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起使∠FDA＝60°，得到一个空间几何体．
(1)求证：BE∥平面ADF； (2)求证：AF⊥平面ABCD； (3)求三棱锥E—BCD的体积．
3
答案 (1)略 (2)略 (3) 12
解析 (1)由已知条件，可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变． 又因为BC?平面ADF，AD?平面ADF， 所以BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF. 又因为BC∩CE＝C，BC，CE?平面BCE， 所以平面BCE∥平面ADF. 又因为BE?平面BCE， 所以BE∥平面ADF.
(2)由于∠FDA＝60°，FD＝2，AD＝1，
1
所以AF2＝FD2＋AD2－2×FD×AD×cos∠FDA＝4＋1－2×2×1×＝3.即AF＝3.
2
222
所以AF＋AD＝FD.所以AF⊥AD.
又因为DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD＝D， 所以DC⊥平面ADF.又因为AF?平面ADF， 所以DC⊥AF.
因为AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD， 所以AF⊥平面ABCD.
(3)因为DC⊥EC，DC⊥BC，EC，BC?平面EBC，EC∩BC＝C，所以DC⊥平面EBC.又因为DF∥EC，AD∥BC，∠FDA＝60°，所以∠ECB＝60°.
133
又因为EC＝1，BC＝1，所以S△ECB＝×1×1×＝.
224
1133
所以VE－BCD＝VD－EBC＝×DC×S△ECB＝×1×＝.
33412
1．(2016·江苏宿迁重庆中学联考)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；
(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.
解析 (1)证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD.
∵O，D分别是A1B，BC的中点， ∴A1C∥OD.∵A1C?平面AB1D，
OD?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. (2)M为CC1的中点．证明如下：
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1， ∴四边形BCC1B1是正方形．
∵M为CC1的中点，D是BC的中点， ∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM.
π
又∵∠BB1D＋∠BDB1＝，
2π
∴∠CBM＋∠BDB1＝，∴BM⊥B1D.
2
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.
∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM. ∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D. ∵AB1?平面AB1D，∴MB⊥AB1. 2. (2016·苏锡常镇四市调研)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为A1B1，C1C的中点．
求证：(1)BC1⊥平面AB1C； (2)DE∥平面AB1C.
证明 (1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.
又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1?平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，
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