数值分析试卷及其答案1

1. 已知X1*?325413,X2*?0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解：

由已知可知6

X1*?0.325413?106,k?6,k?n?0,绝对误差限?1?1?100?0.5

22分

X*02?0.325413?10,k?0,k?n??6,绝对误差限?2?12?10?62分

?100?2. 已知A???0 2 4?求A,A,A （6分）

?0?1?2??24??解：

A1?max?1,4,8??8,1分

A??max?1,6,6??6,1分

A2??max?ATA?1分

?100?0??

2 ?2???10ATA???0

2

4?=

?14???0?0

??04???0?24?????02分

?max(ATA)?max?1,8,32??321 / 11

00?8

0?0? 32??

1分

A2?32?42

3. 设f(x)?(x2?a)3 （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式

② 当a为何值时，xk?1??(xk) （0,1……）产生的序列?xk?收敛于

2

解：

①迭代格式为：

xk?12f(xk)(xk?a)35xka?xk??xk???2f'(xk)66xk6xk(xk?a)2?(x)?5xa?66x 3

分 ②3分

4. 给定线性方程组，其中：A?? ?，b???用迭代公式

?112????x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k))（0,1……）求解，问取什么实数??'(x)?5a10?a?2,当?'(2)??1,即?2?a?22时迭代收敛 66x12?32??3?，可使

迭代收敛 （8分） 解：

所给迭代公式的迭代矩阵为2分

2 / 11

?1?3??2??B?I??A??? ??1?2???其2分 即2分

特征方程为

?I?B???(1?3?)2??0

???(1?2?)，解得

?1?1??,?2?1?4?

要使其满足题意，须使?(B)?1，当且仅当0???0.5 2分

?2?2?1?5??，b??6?试讨论解此方程的迭代1115. 设方程，其中A?? ??????21??2??7??法的收敛性，并建立迭代格式 （9分） 解：

A?L?D?U

?0BJ??D?1(L?U)????1???2?2

0?2

2??1?? 0??3分

?I?BJ??3?0,?1??2??3?0

2分

即1分

迭代格式：

(k)(k)?x1(k?1)?5?2x2?2x3?(k?1)(k)?6?x1(k?1)?x3?x2?(k?1)(k?1)(k?1)x?7?2x?2x312??(BJ)?0?1，由此可知迭代收敛

（0,1,2,3……）

3 / 11

3分

6. 用分解计算下列3个线性代数方程组：Axi1??21?4??，b??7?,b?x,b?x （12A??223 1132????2?bi（1,2,3）其中

分）

??234????9??解：

①Ax1?b1

?211? ??2 3 2???4?x?7? ??1???234????9????10 ?1

1

??113分 ?100?? 由1，即??1 1 0???4???7??111???9????分 ? 由1，即

?2?0

??02分 ②Ax2?b2

?211? ??2 3 2??1?x2=?1? ?????234????1??0??0???21??0???0?4?得??3? 1???2??1?2

1?x1=

02???4 / 11

1

20??4??3? 得???2??1?1?2? ????1?x1=

?1? ?1????

1