中考必会的几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点

模型 作法 A结论 AlPlPA＋PB的最小值为AB BB 当两定点A、B在直线l异侧时,在直线l连接AB交直线l于点P,点P上找一点P,使PA＋PB最小． 即为所求作的点． BAl 当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA＋PB最小． BAlPPA＋PB的最小值为AB' 作点B关于直线l的对称点B', 连接AB'交直线l于点P,点P即为所求作的点． B'ABl 当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA?PB最大． ABPl PA?PB的最大值为AB 连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点． AAB' lBPlPA?PB的最大值为B AB' 当两定点A、B在直线l异侧时,在直线 l上找一点P,使得PA?PB最大． 作点B关于直线I的对称点B',连接AB'并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点． 1

ABl 当两定点A、B在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使得PA?PB最小． ABP连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点． lPA?PB的最小值为0 模型实例

例1：如图,正方形ABCD的面积是12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,则PD＋PE最小值是 ．

ADPEBC

解答：如图所示,∵点B与点D关于AC对称,

∴当点P为BE与AC的交点时,PD＋PE最小,且线段BE的长． ∵正方形ABCD的面积为12,∴其边长为23

∵△ABE为等边三角形,∴BE＝AB＝23．∴PD＋PE的最小值为23．

例2：如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC＝BC＝4,∠BCD＝15°,P为CD上的动点,则

PA?PB的最大值是多少？

AAPCBDPC解答：

2

B

A' 如图所示,作点A关于CD的对称点A′,连接A′C,连接A′B并延长交CD于点P,则点P就是PA?PB的值最大时的点,PA?PB＝A′B．

∵△ABC为等腰直角三角形,AC＝BC等于4,∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°,∴∠ACD＝75°．

∵点A、A′关于CD对称,∴AA′⊥CD,AC＝CA′, ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°,∴∠BCA′＝60°．

∵CA′＝AC＝BC＝4,∴△A′BC是等边三角形,∴A′B＝BC＝4．∴PA?PB的最大值为4． 练习

1．如图,在△ABC中,AC＝BC＝2,∠ACB＝90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC＋ED的最小值是 ．

AECDB

解：解：过点C作CO⊥AB于O,延长CO到C?,使OC?=OC,连接DC?,交AB于E,

连接C?B,

此时DE+CE=DE+EC?=DC?的值最小．

连接BC?,由对称性可知∠C?BE=∠CBE=45°,∴∠CBC?=90°,∴BC?⊥BC, ∠BCC?=∠BC?C=45°,∴BC=BC?=2,∵D是BC边的中点,∴BD=1, 根据勾股定理可得：DC?=5,故EC+ED的最小值是5．

2．如图,点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时,求y的值．

yA(0,3)OB(2,0)x

解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′,连接A′B交直线x=3与点C． ∵点A与点A′关于x=3对称,∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．

当点B、C、A′在同一条直线上时,A′C+BC有最小值,即△ABC的周长有最小值． ∵点A与点A′关于x=3对称,∴点A′的坐标为（6,3）．

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