高等数学知识点总结

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???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv???Ands?????斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?cos???yQcos???zR

dydzdzdxdxdycos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??A?tds??常数项级数：

1?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n

等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n2n?1级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛Un?1?设：??lim，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

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交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：? ?un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1　　级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1　　p级数：　　?npp?1时收敛幂级数：

1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??　　x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1

??0时，R?a求收敛半径的方法：设limn?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0函数展开成幂级数：

?f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数：

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)n(1?x)m?1?mx?x???x??　　　(?1?x?1)2!n!

352n?1xxxsinx?x?????(?1)n?1??　　　(???x???)3!5!(2n?1)!欧拉公式：

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?eix?e?ixcosx???2 ixe?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数：

?a0f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。?

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。傅立叶级数：

f(x)??a0??(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1f(x)cosnxdx　　　(n?0,1,2?)?an??????其中???b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835　111?2?????24224262正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?2?????（相加）6223242111?21?2?2?2???（相减）122341?2?

?2?f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b0nsinnx是奇函数???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a0??ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

?a0n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l2lln?1l?1n?xdx　　　(n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：

dyy齐次方程：一阶微分方程可以写成?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux即得齐次方程通解。?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。一阶线性微分方程：

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dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?

P(x)dx?P(x)dxdx?C)e?当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即： ?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x)，

dxdx2f(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 22(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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