第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷(小学高年级组) (1)

详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A（小学高年级组）

一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）

1. 计算: －(2.4＋×4)÷=。 ［答案］ 2

［解析］原式=-(+) × =-× =- =2

2. 中国北京在2015年7月31日获得了2022 年第24 届冬季奥林匹克运动会的主办权. 届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期。（今天是2016年3月12日, 星期六） ［答案］五

［解析］2022-2016＝6（年），2020÷4=505，所以2020为闰年，有366天。 2016年3月12日至2022年3月12日共有：365×5+366=2191(天）； 2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-4＋12=36(天）； 2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-36＝2155(天）； 2155÷7=307（周）??6（天）

6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。

3. 右图中,AB=5厘米, ∠ABC=85,∠BCA=45,∠DBC=20,则AD=厘米。 ［答案］ 5

［解析］∠A＝180－∠ABC －∠ BCA＝180－85－45=50 ; ∠ABD= ∠ABC－∠ DBC＝85－20=65；

∠ADB＝180－ ∠A－∠ABD＝180－50 －65＝65； 所以 ∠ABD＝∠ADB ，即△ABD是等腰三角形。 所以AD＝AB＝5(厘米)

预定该

在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点。如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点P 使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”。那么在这张格子纸上共有个“好点”。

［答案］ 6

［解析］如图，因为AB＝2AC，所以P点到AC的距离等于P点到AB距离的2倍，如图所示，共有6个点。

5. 对于任意一个三位数n, 用[n]表示删掉n中为0的数位得到的数。例如n =102时[n ]=12,那么满足[n ]

［解析］分两类情况来讨论：

个位为0的三位数有：100、110、120......990，共有90个均符合题目要求。

设十位数字为0的三位数为a0b，依题意，a0b是ab的倍数。则：100a+b是10a+b的倍数，且100a+b=10（10a+b）－9b，

因为10（10a+b）是10a+b的倍数，所以9b是10a+b的倍数。 当b=5时，a＝1或a＝4符合，即105或405符合。 当b＝8时，a＝1符合，即108符合。

所以，十位为0的三位数共有105、405、108这3个。 综上，符合题意的三位数共有90+3=93（个）。

6. 共有12 名同学玩一种扑克游戏, 每次4人参加, 且任意2 位同学同时参加的次数不超过1。 那么他们最多可以玩次。 ［答案］9

［解析］将12名同学分别编号为1-12，将这12人分成4组，每组3个人，要想玩的次数最多，则每人需要与其他组的3个人各玩一次，则12个人共玩次数：12×3=36（次），每次4人玩，最多玩36÷4=9（次）

编号次数 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9 10 11 12 2 2 5 6 9

6 7 8 9 3 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 10 12 7 12 7. 如果2×3能表示成k个连续正整数的和,则k的最大值为。

［答案］108

［解析］设k个连续正整数的首项为n，则末项为n＋k－1 k个连续正整数的和：（n+n+k+1)k÷2=2×38； （2n+k+1)k=22×38

k最大可以取22×38＝108，此时n＝68符合。 所以k最大为108.

8. 两把小尺与一把大尺组成套尺,小尺可以沿着大尺滑动。大尺上每一个单位都标有自然数, 第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10, 第二把小尺将大尺上9个单位等分为10, 两把小尺的起点都为0, 都分别记为1 至10。现测量A,B 两点间距离, A 点在大尺的0 单位处,B 点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时, 其单位3恰好与大尺上某一单位相合. 如果将第二把小尺的0单位处置于B点, 那么第二把小尺的第个单位恰好与大尺上某一单位相合。

［答案］7

［解析］设第二把小尺的第x个单位恰好与大尺上某一单位相合 第一把小尺每个单位占大尺每个单位的： ； 第二把小尺每个单位占大尺每个单位的： ；

依题意， x-×3的结果为整数，当x=7时，x-×3=3，符合。 第二把小尺的第7个单位恰好与大尺上的某一单位相合。

二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）

9.复活赛上,甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额。投票人数固定,每票必须投给甲乙二人之一。最后,乙的得票数为甲的得票数的,甲胜出。但是,若乙得票数至少增加4票,则可胜甲。请计算甲乙所得的票数。

［答案］甲、乙得票分别为126，120或147，140. ［解析］设甲、乙得票数分别为a, b.根据题意：