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第十七章 多元函数微分学
教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时
§ 1 可微性
一． 可微性与全微分： 1． 可微性： 由一元函数引入.
时
2． 全微分: 例1 考查函数
二. 偏导数:
1. 偏导数的定义、记法:
2. 偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
在点
处的可微性 . P107例1
.
亦可写为
,
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3. 求偏导数:
例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5 例6
例8
. 求偏导数. . 求偏导数.
例7
. 求偏导数, 并求
.
. 求
和
.
解
= =
.
,
例9
证明函数 在点 连续 , 并求
和
.
证
.
在点
连续 .
,
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不存在 .
三. 可微条件:
1. 必要条件: Th 1 设
和
为函数
定义域的内点.
在点
可微 ,
存在 , 且
. ( 证 )
由于
, 微分记为
.
定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10 考查函数
在原点的可微性 . [1]P110 例5 .
2. 充分条件:
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Th 2 若函数 点
处连续 . 则函数
在点 可微 .
的偏导数在的某邻域内存在 , 且 在点
和
在
可微 . ( 证 ) P111 处连续,
点
存在 ,
Th 3 若则函数在点
证
.
即 在点
可微 .
要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .
例11
验证函数 留为作业)
在点 可微 , 但
和
在点
处不连续 . (简证,
证
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