(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

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. P120例2

例7 设函数

可微 , . 求证

.

二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8

.P122 例5

. 利用全微分形式不变性求

, 并由此导出

和

§ 3 方向导数和梯度

一． 方向导数： 1． 方向导数的定义： 定义 设三元函数 为从点 以表示

与

在点

的某邻域 为 上且含于

内有定义 . 内的任一点 ,

出发的射线 .

两点间的距离 . 若极限

存在 , 则称此极限为函数

、

.

在点

沿方向 的方向导数 , 记为

或

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对二元函数 在点 和

是三元函数

, 可仿此定义方向导数 .

易见 , 、

在点

分别沿 轴正向、

轴

正向和

轴正向的方向导数 .

=

. 求

在点

处沿 方向的方

; ⅱ> 为从点

例1

向导数,其中 ⅰ> 为方向

到点

解 ⅰ> 为方向的射线为

的方向.

.

. 即

,

.

因此 ,

ⅱ> 从点

方向的射线为

到点 的方向 的方向数为

.

,

.

;

因此 ,

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2. 方向导数的计算:

Th 若函数

在点

可微 , 则

在点

处沿任一方向 的

方向导数都存在 , 且

+

、

和 ,

+

,

其中 为 的方向余弦. ( 证 ) P125

+

, 其中

和

对二元函数 是 的方向角. 註 由 = 可见 ,

为向量

+

,

, ,

,

+

,

= ,

,

在方向 上的投影.

例2 ( 上述例1 )

解 ⅰ> 的方向余弦为

=

,

=

,

=

.

=1 ,

+

=

+

,

. =

.

因此 ,

=

=

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ⅱ> 的方向余弦为

= =

.

,

=

,

=

.

因此 ,

可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 例3 P126 . 二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: | 易见 , 对可微函数

=

, 方向导数是梯度在该方向上的投影.

,

,

.

.

2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 其中

是 与

| 夹角. 可见

时

.

取最大值 , 在 的反方向

取最小值 . 3. 梯度的运算:

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