湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

21. （本题满分12分）

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失。为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用

万元()满足 (为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是

2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按

元来计算).

(1)将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

解: (1)由题意知,当m=0时,x=2(万件),

则2=4-k,解得k=2,∴x=4-

. LLLLLLLLLL2?

∵每件产品的销售价格为1.5×(元),

∴2018年的利润y=1.5x×-8-16x-m=-

+37(m≥0). LLLLLL6?

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(2)∵当m≥0时,m+1>0,∴+(m+1)≥2

=8,当且仅当m=3时等号成立.LLLL9?

∴y≤-8+37=29,

当且仅当=m+1,即m=3万元时,ymax=29(万元).

故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元. LLLL12?

22. （本题满分12分）已知数列的前项和

对恒成立， （1）证明是等差数列，并求

（2）求实数的取值范围; （3）设解：（1）当当时，得 所以数列

（2）因为

，求数列时，

，又

，所以

,即

，故不等式

，又的通项公式; 项和

，得

. LLLLLLLLLL1? ，两式相减，得：

， LLLLLLLLLL3? ; LLLLLLLLLL4? 等价于

，

，若不等式

是以2为首项，1为公差的等差数列，

记故当综上，所以 （3）所以

，即，则时，时，

.

， LLLLLLLLLL10?

.LL12?

;

. LLLLLLLLLL6? 时，,从而，即

;

. LLLLLLLLLL8?

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