2021届数学一轮复习
[练案15]第十二讲 导数在研究函数中的应用
第一课时 导数与函数的单调性
A组基础巩固
一、单选题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( D ) A．(－∞，2) C．(1,4)
x
B．(0,3) D．(2，＋∞)
x
x
[解析] f′(x)＝(x－3)′e＋(x－3)(e)′＝(x－2)e，令f′(x)>0，解得x>2.故选D.
2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)( D ) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 1
C．在(0，)上单调递增
e1
D．在(0，)上单调递减
e
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)．当11
f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为(，＋∞)；当f′(x)<0时，
ee11
解得0 ee ln x3．已知函数f(x)＝，则( D ) xA．f(e)>f(2)>f(3) C．f(3)>f(2)>f(e) B．f(3)>f(e)>f(2) D．f(e)>f(3)>f(2) 1－ln x ，令f′(x)＝0，得x2 [解析] f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝ x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，1ln 2ln 8 f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，所以f(3) e26 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 ln 3ln 9＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)．故选D. 36 1 4．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的 2取值范围是( A ) A．(1,2] C．(－∞，2] B．[4，＋∞) D．(0,3] 99 [解析] f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0 xx调递减区间是(0,3]，所以0 5.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( A ) A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－2，2) C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [解析] 由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－2 6．(2020·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( A ) A．f(－3) B．f(4) [解析] x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴f(3) 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 二、多选题 7．(2020·青岛市高中毕业班模拟)已知当m，n∈[－1,1]时，sin πn3 A．m>n C．m [解析] 由题意，设f(x)＝x3＋sin 则f′(x)＝3x2＋ ππxcos ， 22 B．m3 D．m与n的大小关系不确定 πx ， 2 πm －sin 2 当x∈[－1,1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 又由m3＋sin πm3πn 所以f(m) 8．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不可能是( ABD ) [解析] 根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C满足题意．故选A、B、D. 三、填空题 9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝__－12__. [解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1 10．函数f(x)＝ x 的单调递减区间是__(0,1)和(1，e)__. lnx 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 ?lnx－1<0lnx－1 [解析] f′(x)＝<0得? ln2x?lnx≠0 ，解得0 ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)． 11．已知函数f(x)＝x2(x－a)． 9(1)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是 (3，) ； 29(2)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是 (－∞，3]∪[，＋2∞) . 2a [解析] (1)由f(x)＝x－ax，得f′(x)＝3x－2ax＝3x(x－)．若f(x) 3 3 2 2 2a??3≠0， 在(2,3)上不单调，则有? 2a2<<3，??3 四、解答题 9 可得3 2 12 12．(2020·山东枣庄调研)已知函数f(x)＝xe－(x＋x)a(a∈R)． 2 x (1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间． [解析] (1)a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex， 所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2e. 又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e. (2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a. 1 ①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增． e 1 ②当0 e得ln a 所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)． 坚持就是胜利！ 2021届数学一轮复习 1 ③当a>时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a，由f′(x)<0， e得－1 所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)． 1 综上所述，当a＝时，f(x)在R上单调递增； e 1 当0 e为(ln a，－1)； 1 当a>时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－ e1，ln a)． 1 13．(2020·四川成都诊断)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)． 2(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围． 11 [解析] (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－ax－2. 2x1 由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，－ax－ x12 2<0有解，即a>2－有解． xx 12 设G(x)＝2－，则只要a>G(x)min即可， xx 1 而G(x)＝(－1)2－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1. x(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，得当x∈[1,4]时， 112 h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥2－恒成立， xxx 1211 设G(x)＝2－，则a≥G(x)max，而G(x)＝(－1)2－1，又x∈[1,4]，所以 xxxx177 ∈[，1]，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－. 41616 坚持就是胜利！
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