2017年全国卷3数学(理科)高考试题及答案(word版)

由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA.

1又∵a?27,b?2,cosA??代入并整理得

2?c?1?2?25，故c?4.

（2） ∵AC?2,BC?27,AB?4，

a2?b2?c227由余弦定理cosC?. ?2ab7∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3. 222π2πππ??， ，则?DAB?3326S△ABD?

1πAD?AB?sin?3. 2618．⑴易知需求量x可取200,300,500

P?X?200??2?161? 30?35P?X?300??P?X?500??362? 30?3525?7?42?.

30?35则分布列为：

⑵ ①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.

②当200?n≤300时：Y?41?2n??200?2??n?200????2??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555

此时Ymax?520，当n?300时取到.

③当300?n≤500时，

122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2?????????????5??5?n?2 5? 9

?3200?2n 5

此时Y?520.

④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况.

综上所述：当n?300时，Y取到最大值为520.

19．

⑴ 取AC中点为O，连接BO，DO；

Q?ABC为等边三角形

∴BO?AC ∴AB?BC

?AB?BC???ABD??CBD. ?BD?BD??ABD??DBC? DCOE∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形，?ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC

令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a 易得：OD?22BA23a，OB?a 222∴OD?OB?BD

由勾股定理的逆定理可得?DOB?即OD?OB

?OD?AC?OD?OB???ACIOB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC?2

z又∵OD?平面ADC 由面面垂直的判定定理 可得平面ADC?平面ABC ⑵ 由题意可知VD?ACE?VB?ACE

即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点

DCOEBAyx10

uuuruuuruuur以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设AC?a，

建立空间直角坐标系，

???33a?a??a??B0,a,0E0,a,?O0,0,0A,0,0D0,0,?，??则?，??，??，????? 24422????????r?aa?uuur?auuur?a3a?uuu?AD??,0,OA??,0,0? AE??,a,易得：，，?????244??22??2???uuruur设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，

uuuruur?uur?AE?n1?0ruur则?uuu，解得n1?3,1,3 ??AD?n1?0uuuruur?uurAE?n?2?0nuuuruur，解得2?0,1,?3 ???OA?n2?0????若二面角D?AE?C为?，易知?为锐角， uuruurn1?n27uruur?则cos??u

7n1?n2

20．⑴ 显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设l:x?my?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)， ?y2?2x联立：?得y2?2my?4?0，

?x?my?2??4m2?16恒大于0，y1?y2?2m，y1y2??4．

?(my1?2)(my2?2)

?(m2?1)y1y2?2m(y1?y2)?4 ??4(m2?1)?2m(2m)?4?0

∴

，即O在圆M上．

⑵ 若圆M过点P，则

(x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?0

(my1?2)(my2?2)?(y1?2)(y2?2)?0

(m2?1)y1y2?(2m?2)(y1?y2)?8?0 1化简得2m2?m?1?0解得m??或1

2

11

1①当m??时，l:2x?y?4?0圆心为Q(x0,y0)，

2y0?y1?y2119??，x0??y0?2?， 222422?9??1?半径r?|OQ|??????? ?4??2?921285则圆M:(x?)?(y?)?

4216②当m?1时，l:x?y?2?0圆心为Q(x0,y0)， y0?y1?y2?1，x0?y0?2?3， 2半径r?|OQ|?32?12 则圆M:(x?3)2?(y?1)2?10

21．⑴ f(x)?x?1?alnx，x?0

则f?(x)?1?ax?a，且f(1)?0 ?xx当a≤0时，f??x??0，f?x?在?0， ???上单调增，所以0?x?1时，f?x??0，不满足题意；当a?0时，

当0?x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(0,a)上单调递减； 当x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(a,??)上单调递增．

①若a?1，f(x)在(a,1)上单调递增∴当x?(a,1)时f(x)?f(1)?0矛盾 ②若a?1，f(x)在(1,a)上单调递减∴当x?(1,a)时f(x)?f(1)?0矛盾

③若a?1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增∴f(x)≥f(1)?0满足题意 综上所述a?1．

⑵ 当a?1时f(x)?x?1?lnx≥0即lnx≤x?1

则有ln(x?1)≤x当且仅当x?0时等号成立 ∴ln(1?11，k?N* )?kk221111111一方面：ln(1?)?ln(1?2)?...?ln(1?n)??2?...?n?1?n?1，

2222222111即(1?)(1?2)...(1?n)?e．

222111111135另一方面：(1?)(1?2)...(1?n)?(1?)(1?2)(1?3)??2

22222264 12