习题
1、设 A是对称阵且
T
a11 0，经过高斯消去法一步后， A 约化为
a
a
11
1
，证明 A 是对
2
0
称矩阵。 证明：
A
2
a
11
a
12
... a
1n
设对称矩阵 A
a a
22
... a
n 2
12
，则经过 1 次高斯校区法后，有
... a
1n
... a
2n
... ...
nn
... a
a
11
a
12
...
12
a
1n
(1)
a a
22
a
1n
A
0 a
12
... a
n2
a
12
a
11
a
11
... 0
a
2n
... a
1n
... a
12
... a
1n
... a
nn
a
12
a
11
a
11
a
11
a
12
...
12
a
1n
a
0
a
22
a
12
a
12
... a
n2
a
1n
a
11
a
11
... 0
a
n2
... a
1n
... a
12
... a
1n
... a
nn
a
1n
a
11
T
所以
a
11
a1 [a12 ... a 2]
n
a
12
a
12
a
22
a
12
... a
n2
a
1n
a
11
a
11
A
2
... a
1n
... ... a
1n
a
n 2
a
12
... a
nn
a
1n
a
11
a
11
所以 A2 为对称矩阵。
2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，
A 约化为
( )
A a ，其中 A (aij )n ，
ij n
(2)
A2 (aij )n 1 ；
证明：（1）A 的对角元素 a
0 (i 1,2,
,n) ；（2）
A 是对称正定矩阵；
（1）依次取 xiT
所以有 a
x 0
ii
( 0,0, Ax
。
ii
,0 ,1,0,i
T
, 1, 2,2
,n ，则因为A 是对称正定矩阵，
,0) i （2）
( 2)
a a
i1 1 j
i j
, ( ,
ij
n
A 中的元素满足ij
2
a
a
2,3, , ) ，又因为 A 是对称正定
a
11
矩阵，满足aij a , i, j 1, 2, , n，所以
ji
a a
( 2)
i 1 1j
a a
1i
j1
( 2)
aij a
ij
a
ji
a ，
ji
a
即 A 是对称矩阵。
2
11
a
11
3、设Lk 为指标为 k 的初等下三角矩阵 （除第 k 列对角元以下元素外， 即
Lk 和单位阵 I 相同），
1 ...
L
k
1
k 1,k
m
1
... m
n,k
...
求证当i, j 矩阵。
1
Iij 为初等置换
k 时，
L
k
I L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中
ij
k ij
4、试推导矩阵 A 的 Crout 分解 A=LU的计算公式，其中 矩阵。
本题不推导。参见书上例题。 5、设Ux
P147 页。
L 为下三角矩阵， U 为单位上三角
d ，其中 U 为三角矩阵。
d 的乘除法次数
U 1 的计算公式
可从第 n 个元素开始， 逐步计算 n-1,? 1 时对应的求解公式。
（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法 （2）计算解三角方程组Ux
（3）设U 为非奇异矩阵，试推导求 本题考查求解公式的一般方法， 解法，略。 6、证明：
（1）如果 A 是对称正定矩阵，则A 1也是对称正定矩阵 （2）如果 A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成 A 三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。应予以记 。住7、用列主元消去法解线性方程组
LT L ，其中 L 是具有正对角元的下
12x 3x
1
2
3x
3
15 15
18x
1
3x
2
x
3
x
1
x
2
x
3
6
并求出系数矩阵 A 的行列式的值
12 A
18 1 12
A|b
18 1
3 3 1
3 1 1 3 3 3
1 1
15 15 6
1
使用列主元消去法，有
12
A|b
18 1 18 12 1
3 3 1
3 3 3 1 1 3 1
1 1 15 15 6
15 15 6
18 3 0
0
1
1 7
15 5 31 6
3 7 17
6 18
18 3 1
7 17 0
6 18
7
0 1
3
15 31 6 5
18 3
0 0
1 15
7 17 31
6 18 6
66 66 0
21 7
A 的行列式为 -66
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