方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（ Doolittle 分解）求线性方程组的解 1
x
1
1 x
2
1 x
3
9
4
1
x
1
5 1 x
2
6 1 x
3
8
3 4 5
1 x x 2x 8
3 2 1 2
本题考查 LU 分解。 解：
1 1 1 A
4
1 3 1 2
5 6 1 1 4 5 1 2
L
1 0 0 1 1 0 3 1
1 1 2 1 4
1 5 11 60 0
1
6 13 90 957 540
Ax b ，其中
U
0 0
9、用追赶法解三对角方程组
2 A
0
1 0 0 0
1 0 0
1 0 1 1 2
b ，
1 2 1 2
1 0 0 。 0 0
1 2 0 0
0 0 0
解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有 （1）计算
i
的递推公式
1
c1 / b1 1/ 2
1
0.5 ) ) )
1/ (2 ( 1) ( 0.5)) 1/ (2 ( 1) ( 2/ 3)) 1/ (2 ( 1) ( 3/ 4))
2/ 3 3/ 4 4 /5
2
c2 / (b2 a2 c3 / (b3 a3 c4 / (b4 a4
3
2
4
3
（2）解 Ly=f
y1 y2 y3 y4 y5
f1 / b1 1/ 2
( f2 a2y1) / (b2 a2 1) (0 ( 1) (1/ 2)) / (2 ( 1) ( 0.5)) 1/ 3 ( f3 a3 y2) / (b3 a3 2) (0 ( 1) (1/ 3)) / (2 ( 1) ( 2/ 3)) 1/ 4 ( f4 a4 y3) / (b4 a4 3 ) (0 ( 1) (1/ 4)) / (2 ( 1) ( 3/ 4)) 1/ 5 ( f5 a5 y4 ) / (b5 a5 4) (0 ( 1) (1/ 5)) / (2 ( 1) ( 4/ 5)) 1/ 6
（3）解 UX=y
x5 x4 x3 x2 x1
y5 1/ 6 y4 y3 y2 y1
4 5
x1/ 5 ( 4/ 5) 1/ 6 1/ 3
3
x4 1/ 4 ( 3/ 4) 1/ 3 1/ 2 x
1/ 3 ( 2/ 3) 1/ 2 2/ 3 2 ( 1/ 2) 2/ 3 5/ 6
2 3
1
x2
10、用改进的平方根法解方程组 2
1
1
1 1 x
1
2 3 x 3 1
4
2
x 3 7
,x
3
。 5 6
本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的
x1
10 ,x
2
LDU分解。见 P157
23
。
9
11、下列矩阵能否分解为 LU （其中 L 为单位下三角阵， U为上三角阵）？若能分解，那么
分解是否唯一。
9 9
1 2 3 A
2 4 1 ， B 4 6 7
1 1 1 2 2 1 ，C 3 3 1
1 2 6
。
2 5 15 6 15 46
LU 分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆， LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 不为零，那么它就可以进行 解：
LU 分解，但反之则不然。
k 的矩阵的前 k 个顺序主子式
LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的
L 矩阵（或
U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的
LDU可分解条件也相同，
因为 A的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A不能直接分解为三 角阵的乘积，但换行后可以。
因为 B的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B不能分解为三角阵的 乘积。
因为 C的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的 乘积，并且分解是唯一的。
12、设
A
0.6 0.5
，
0.1 0.3
计算 A 的行范数，列范数， 2- 范数及 F-范数。 本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数 0.6+0.5=1.1 列范数 0.5+0.3=0.8
2- 范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。
T
A A 的最大特征值为 0.3690
所以 2- 范数为 0.6074 F-范数 0.8426 13、求证： （a） x
x
1
n x
A
2
；
1
（b） A F
n
A F 。
根据定义求证。
n
x max x
i
1 i n
x
1
i 1
x
i
n max xi
1 i n
n x 。
n
1
2
1
2
A
F
a
ij
n
2
n
i , j 1
T
A 2 ( A A)
max
14、设 P
n n
且非奇异，又设
R 上一向量范数，定义 x p x 为
n
Px 。试证明 x p 是
R
相关推荐：
loading