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李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案

来源:用户分享 时间:2025/5/29 14:54:30 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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n

R 上向量的一种范数。

根据向量范数的定义来证明:

要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。

显然 x p x1 x2

p

Px ( 1 P x

0 , cx p

) x

2

Pcx

1

2

c Px

1

c x p、

2

1

2

,从而 x 是

p

p

n

Px Px Px Px x

p

x

R

上向量的一种范数。

15、设

n n

A R

1 2

为对称正定,定义

x

A

( Ax, x)

n

试证明 x 是 R 上向量的一种范数。

A

根据向量范数的定义来证明:

要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。

1

显然 x

A

( Ax, x)

2

x Ax 0 ,

T

1

2

T

1

cx

A

( Acx,c x)2 c ( x Ax) c( Ax, x)2

1

c x

A

T

x

1

x

2

A T

( A(x

1 T

x ),( x

2

1

x ))

2 2

(x x ) A(x x )

1

2

1

2

x Ax

1

1

x Ax

2

2

x

1 A

x

2 A

1

16、设 A 为非奇异矩阵,求证

1

A

Ay min y 0 y

因为

A

1

max

x 0

1

A x

x

1

A x max

x 0 AA 1

x

y

y

1

Ay

A x 0

max

1

Ay min

y 0

y

所以得证

1

1

Ay

min y 0

y

A

17、矩阵第一行乘以一数,成为

2

,证明当

A

1 1

2

3

时, cond( A)

有最小值。

本题考查条件数的计算

1

cond ( A) A 首先计算 A的逆阵

A

1

1

1

A

1

A

2

2

2 |3 | 2

|3 | |3 | 2 ,当

1 | |

2

3 ,取得最小值为 2

1

A

| |

取值越大,则最小值为 2

,当

从而 cond (A) 又当

2

时, 3

1

cond ( A)

(

1

1

A

(

2) max 3

,2 ,

A

2) max 3 ,2

3 ( 2) 2 7。 2

2

时, 3

1

1

2) max 3 ,2

(

2) 3

3 6 2

,即 3

7 。 2 。 3

cond ( A) (

综上所述, cond( A)

18、设 A

7时最小,这时

100 99

,计算 A

A)v 的条件数 cond(

98 99

(v 2, )

99 98

由 A ( A

1

100 99

可知, 1

99 98 A

98 99

T

,从而

99 100

98 99 19405

19602

A

1

) ( )

99

100 99

100

19602 19801

19405 19602

1 T

A

1

2

39206

1 0

由 I ( A ) ( )

19602

19801

100 99 100 99

T

19801 19602

, 19602 19405

A A

99 98

99 98

19801

T

19602

2

由 I A A

19602

19405

39206 1 0

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