n
R 上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然 x p x1 x2
p
Px ( 1 P x
0 ， cx p
) x
2
Pcx
1
2
c Px
1
c x p、
2
1
2
，从而 x 是
p
p
n
Px Px Px Px x
p
x
R
上向量的一种范数。
15、设
n n
A R
1 2
为对称正定，定义
x
A
( Ax, x)
，
n
试证明 x 是 R 上向量的一种范数。
A
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
1
显然 x
A
( Ax, x)
2
x Ax 0 ，
T
1
2
T
1
cx
A
( Acx,c x)2 c ( x Ax) c( Ax, x)2
1
c x
A
T
x
1
x
2
A T
( A(x
1 T
x ),( x
2
1
x ))
2 2
(x x ) A(x x )
1
2
1
2
x Ax
1
1
x Ax
2
2
x
1 A
x
2 A
1
16、设 A 为非奇异矩阵，求证
1
A
Ay min y 0 y
。
因为
A
1
max
x 0
1
A x
x
1
A x max
x 0 AA 1
x
y
y
1
，
Ay
A x 0
max
1
Ay min
y 0
y
所以得证
1
1
Ay
min y 0
y
A
17、矩阵第一行乘以一数，成为
2
，证明当
A
1 1
2
3
时， cond( A)
有最小值。
本题考查条件数的计算
1
cond ( A) A 首先计算 A的逆阵
A
1
1
1
A
1
A
2
2
2 |3 | 2
|3 | |3 | 2 ，当
1 | |
2
3 ，取得最小值为 2
1
A
| |
取值越大，则最小值为 2
，当
从而 cond (A) 又当
2
时， 3
1
cond ( A)
(
1
1
A
(
2) max 3
,2 ，
A
2) max 3 ,2
3 ( 2) 2 7。 2
当
2
时， 3
1
1
2) max 3 ,2
(
2) 3
3 6 2
，即 3
7 。 2 。 3
cond ( A) (
综上所述， cond( A)
18、设 A
7时最小，这时
100 99
，计算 A
A)v 的条件数 cond(
98 99
(v 2, )
99 98
由 A ( A
1
100 99
可知， 1
99 98 A
98 99
T
，从而
99 100
98 99 19405
19602
，
A
1
) ( )
99
100 99
100
19602 19801
19405 19602
1 T
A
1
2
，
39206
1 0
由 I ( A ) ( )
19602
19801
100 99 100 99
T
19801 19602
， 19602 19405
A A
99 98
99 98
19801
T
19602
，
2
由 I A A
19602
19405
39206 1 0
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