1
可得
A
2
A
2 1
19603
384277608
，从而
384277608
39206 。
cond ( A) 2 A
2
A
2
19603
1 1
A
199 199 39601 。
A 199 ， A 199，从而 cond( A)
1
A
19、证明：如果 A 是正交矩阵，则 cond(A)
2
若 A 是正交阵， 则 A 1
T
， 从而 AT A I ， A
1
A )T
1
AA
1
I ，
A (
故
1
1
A 2 A
2
，
1 ( )
cond A 2
1
A
2
A
2
。
n n
20、设 A,B R ，且
为 R
n n
上矩阵的算子范数，证明：
cond ( AB) cond ( A)cond ( B)
1
1
1
1
1
cond( AB) ( AB) AB
B A
1
AB A )( B
B
1
A A B
( A B ) cond( A)cond( B)
21、设 Ax （1） （2）
T
T
b ，其中 A 为非奇异矩阵，证明：
A A 为对称正定矩阵；
T
2
T
2
2
cond ( A A) (cond (A) )
x(A A)x ( Ax) Ax b
2
2
T T
0 ，所以 A A 为对称正定矩阵。
T
( cond (A) )
max( A A) min( AA )
T
T
T
由于 A A 为对称正定矩阵，所以
A A AA
T T T 1
cond ( A A)
2
T T
A A
2 T
T T
(A A)
2
max(( A A) ( A A))
T
min(( A A)( A A) )
T T T
T T
T
max(( AA ) ( A A)) min(( AA )( A A) )
则
T T
T T
max( A AA A) min( AA AA )
T
2 T 2
max( A A) min( AA )
T
max( A A)
T
min( AA )
(cond (A) )
2
2
第 7 章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？ P213，若 f (x) C[ a,b] 且 f (a) f (b)
0，根据连续函数性质可知 f ( x) 0 在[a,b] 内至
少有一个实根，这时称 [a, b] 为 f (x) 0 的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求 P213
f ( x) 0 的根， f 要满足什么条件？
一般地，对于函数 f (x) 0如果存在实数 c,当 x=c 时，若 f (c) 0 ,那么把 x=c 叫做函数
f (x) 0 的零点。解方程即要求
假定 f (x)
f (x) 0 的所有零点。
0 在区间（ x，y）上连续，
0 ，说明在区间 (a,b)内一定有零点，然后求
先找到 a、b 属于区间（ x，y），使 f (a) f (b)
f ((a b) / 2) ,现在假设 f (a) 0, f (b) 0,a b
① 果 f ((a b) / 2) 0 ，该点就是零点， 如果 f ((a b) / 2)
有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。 ② 如果 f ((a b) / 2)
值判断。
③ 这样就可以不断接近零点。通过每次把
f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。 ④ 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。 3.什么是函数 P215.
将方程 f (x) 0 改写成等价的形式 x
0 ,则在区间 [(a b) / 2),b] 内
0 ，则在区间 [a,(a b) / 2)] 内有零点，从①开始继续使用中点函数
(x) 0 的不动点？如何确定 (x) 使它的不动点等价于 f (x) 的零点
(x) ，若要求 x* 满足 f ( x*) 0 ，则 x* ( x*) ；
反之亦然，称 x* 为函数 (x) 的一个不动点。 4.什么是不动点迭代法？
(x) 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
( x) 的不动点
P215
求 f (x) 0 的零点就等价于求 的右端，可求得
(x) 的不动点， 选择一个初始近似值 x0 ，将它代入 x
(x)
x1 x
k
1
(x0 ) ，如此反复迭代有 (x ),k 0,1,2,...，
k
( x) 称为迭代函数，如果对任何
x0 [a,b]，由 xk 1
(xk ),k 0,1,2,... 得到的序列
x 有极限
k
lim xk
k
x* ， 则 称 迭 代 方 程 收 敛 ， 且 x* ( x*) 为 (x) 的 不 动 点 ， 故 称
x
k
1
(x ),k 0,1,2,...为不动点迭代法。
k
5. 什 么 是 迭 代 法 的 收 敛 阶 ？ 如 何 衡 量 迭 代 法 收 敛 的 快 慢 ？ 如 何 确 定
x
k
1
( x )(k 0,1,2,...) 的收敛阶
k
P219
设 迭 代过 程 x
k 1
( x ) 收敛 于 x
k
(x) 的 根 x* ， 如 果当 k
时 ，迭 代误 差
e
k
x
k
x*
满足渐近关系式
e
k
1 p
e
k
, 0
C C const
则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1 时称为线性收敛， P>1时称为超线性收敛， p=2 时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解 f (x) 0 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
f ( x*) 0 ， x* 是单根， f 是光
牛顿法：
x
k 1
x
k
f (x )
k k
f (x )
当
| f (x ) | 1
k
时收敛。
7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用
2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。
收敛阶弦截法 1.618 小于牛顿法 2
计算量弦截法 <牛顿法（减少了倒数的计算量）
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