8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229
设已知方程 f (x) 0 的三个近似根， x ,x 1, x 2
k
k
k
，以这三点为节点构造二次插值多项式 p
（x），并适当选取 p2（x）的一个零点 法。
xk 1 作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线
抛物线法的收敛阶 1.840 大于弦截法 1.618，小于牛顿法 2 可用于所想是的实根和复根的求解。
9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方 法。
10.什么是求解 n 维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导 数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确：
（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确） （2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确） （3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）
（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确） （5）求多项式 p(x) 的零点问题一定是病态的问题（错误） （7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误） （8）牛顿法有可能不收敛（正确） （9）不动点迭代法 都收敛。（对）
（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）
xk 1 (xk ) ，其中 x* ( x*) ，若 | ( x*) | 1 则对任意处置 x0 迭代
习题
2
x 1 0
1、用二分法求方程
x
2
的正根，要求误差 0.05 。
x
1，则 f (0)
1， f (2) 1，所以有根区间为 0,2 ；
[ 解] 令 f (x) x 又因为 f (1)
2
1，所以有根区间为 1,2 ；
f ( 1.5) 1.5 1.5 1 0.25，所以有根区间为 1.5,2 ；
0 ，所以有根区间为 1.5,1.75 ； 16
5 2 f (1. 75) 1.75 1. 75 1 1 2 f (1. 625) 1.625 1.625 1
0 ，所以有根区间为 1.5,1.625 ； 64 31 256
9
0 ，所以有根区间为 1 ,1 .625 ；
16
9 9
2
9 1 1 16 19 * 1 ) 1 8 32
f (1 ) (1 )
16 16 1 取x
9
5 (1 2 16
1. 59375 ， 1 9 (1.625 1 ) 2 16
1 32
这时它与精确解的距离
3
。
0. 05
x
2
12. 为求方程 x 1 0 在x0 1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形
式，并建立相应的迭代公式： 1） x 1 1/ x ，迭代公式 xk 1 3 1 x 2）
x
2 2
1 1/ xk ；
3
2
，迭代公式
xk 1 1 xk ；
2
3） 2
x
1
，迭代公式 xk 1 1/ xk 1 ；
x 1
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似
值。
[ 解]1 ）设 ( x) 1
1
2
( ，则 x)
2
3
，从而
2
(1.5)
3
16
1
x
，所以
x 1.5 27
迭代方法局部收敛。 2）设 (x)
3 1
x ，则
3 1
2
2
2
2
3
(x) x(1 x
2
，从而
)
3
2
2
2
3
16
，所以迭代方法局部收敛。
3
(1.5)
3
1.5(1 1.5 ) 1 169
3）设 ( x
)
1
，则
(x)
1 ( x 1)
3 2
(
，从而 1.5)
1
(0.5) 3 2
2 1，
x 1
2
2
所以迭代方法发散。
1
3
3
2
(
3
1)
2
4）设 (x)
( 1.5)
x
1，则
(x)
1
x x 2
，从而
3 19
2
9 1，所以迭代方法发散。 38
1.5( ) 2 8
x
3. 比较求 e 10x 2 0
的根到三位小数所需的计算量：
x
1）在区间 0,1 内用二分法； 2 ）用迭代法 x
x
0
x
(2 ) /10 ，取初值 0
。 1
e
，则 [ 解]1 ）使用二分法，令 f (x) 10x 2
1， f (1)
0.5
f (0) e 8 ，有根区间为 0,1 ；
f ( 0.5) e
0.25
3 0，有根区间为 0,0. 5 ； ，有根区间为 0,0.25 ；
0.5 0
0.125
f ( 0.25) e f ( 0.125) e
1
0.75 0 ，有根区间为 0,0.125 ；
13 8 17 16 39 32
11 3 ； 73 ,
0 ，有根区间为 128 32 64
23 3 141 ； , 256 32
0 ，有根区间为 128
23 47 277 ； ,
0，有根区间为 256 512 256
3 5 ； ,
0，有根区间为 64 32
3 1 ； ,
0.03578 0 ，有根区间为 16 32 1 1 , ；
0.5605 0，有根区间为 16 8
1
f ) e ( 16 16
3
3
f ) e ( 32 32
5
5
f ) e ( 64 64
11
11
e128
23
f ( ) 128
23
256
f ( ) e 256
47
47
f ) e ( 512 512
相关推荐：
loading