北京市2017届高三综合练习
数学（理）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）设i为虚数单位，复数 A． ﹣1
2．（5分）已知 A． ﹣40
的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数为（） B． 40
C． ﹣20
D．20
B．
的虚部为（）
C．
D．
3．（5分）平面向量，共线的充要条件是（） A． ，方向相同
B． ，两向量中至少有一个为零向量 C． ?λ∈R，
D． 存在不全为零的实数λ1，λ2，
4．（5分）将函数f（x）=2sin（2x+
）的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横
对称，则φ的最小正值为（）
D．
坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x= A．
5．（5分）P是双曲线
B．
C．
（a＞0，b＞0）的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，
则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为（） A． a
B． b
C．
D．
6．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）
A． 72
B． 120 C． 144 D．168
7．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2， A．
B．
C．
，则D．
等于（）
8．（5分）如图，在公路MN的两侧有四个村镇：A1、B1、C1、D1，它们通过小路和公路相
连，各路口分别是A，B，C，D，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配于管（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在（）
A． A旁 B． D旁 C． BC（含B、C）段公路旁的任一处 D． AB（含A、B）段公路旁旁的任一处
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．
10．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且 DF=CF=AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．
，
11．（5分）如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），这个几何体的体积为cm3；表面积为cm2．
12．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个不
同的零点，则实数k的取值范围是． 13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c?cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=
14．（5分）已知Sn是等差数列{an}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题： ①d＜0； ②S11＞0； ③S12＜0；
④数列{Sn}中的最大项为S11； ⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣
）+2cos2x﹣1，x∈R
c，则ab的最小值为．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，b，a，c成等差数列，且
=9，求S△ABC及a的值．
16．（13分）在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． （Ⅰ） 求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．
18．（13分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由； （3）当x∈（0，e]时，证明：
．
19．（14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点
．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与椭圆C1求交于不同的两点C、D，求
的取值范围．
20．（13分）若有穷数列a1，a2，…，an（n≥3）满足：（1）
=0；（2）
=1．则称
该数列为“n阶非凡数列”
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”； （Ⅱ）设k∈N*，若“2k+1阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式； （Ⅲ）记“n阶非凡数列”的前m项的和为Sm（m=1，2，3，…，n），求证：
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