全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．
冲关针对训练
已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
21
答案 －3≤m≤2
解析
如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，311131kQA＝2，kPA＝－2，kl＝－m，∴－m≤－2或－m≥2，解得0 －3≤m<0； 当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点． 21 ∴实数m的取值范围为－3≤m≤2. 题型2 直线方程的求法 求适合下列条件的直线的方程： 典例 3 (1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是5； (2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍． 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 根据已知条件代入相应公式，分别 为斜截式、截距式、点斜式． 3 解 (1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝5. 43 ∴cosα＝±5，直线的斜率k＝tanα＝±4. 又直线在y轴上的截距是－5， 3由斜截式得直线方程为y＝±4x－5. 即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0. (2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0， 即l过点(0,0)和(3,2)． 2 ∴l的方程为y＝3x，即2x－3y＝0. xy 若a≠0，则设l的方程为a＋a＝1. 32 ∵l过点P(3,2)，∴a＋a＝1. ∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (3)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 3 ∵tanα＝3，∴tan2α＝＝－4. 2 1－tanα又直线经过点A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为y＋3＝－4(x＋1)， 2tanα 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） 即3x＋4y＋15＝0. 方法技巧 给定条件求直线方程的思路 1．求直线方程常用的两种方法 (1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可． (2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如本例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解． 2．设直线方程的常用技巧 (1)已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b或y＝b. (2)已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a. (3)已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)． 冲关针对训练 根据所给条件求直线的方程： 10 (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾10 斜角为α，则sinα＝10(0≤α<π)， 3101 从而cosα＝±10，则k＝tanα＝±3， 1故所求直线方程为y＝±3(x＋4)， 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解） (2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. |10－5k|3 由点线距离公式，得＝5，解得k＝4， 2 k＋1故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 题型3 直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题 (优质试题·泰安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：典例 2x＋a2y＝2a2＋4，当0 a 将l1，l2分别化为y－2＝2(x－2)， 2 y－2＝－a2(x－2)，知l1，l2恒过定点P(2,2)． 1答案 2 解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为21 －a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝2×2×(2－a)1?215?1122 ??a－＋2×2×(a＋2)＝a－a＋4＝2?＋4，当a＝2时，面积最小． ? 角度2 与直线方程有关的最值问题
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