全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，典例B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．
本题采用基本不等式法求最值．
xy21
解 (1)设所求直线l的方程为a＋b＝1(a>0，b>0)，则a＋b＝1. 21又∵a＋b≥2
21211?ab≥4，当且仅当ab2a＝b＝2，即a＝4，b＝2
1
时，△AOB面积S＝2ab有最小值为4.
xy
此时，直线l的方程是4＋2＝1，即x＋2y－4＝0. (2)设所求直线l的方程为y－1＝k(x－2)．
?2k－1???
则可得A?，0?，B(0,1－2k)(k<0)，
?k?
2k－1
∴截距之和为k＋1－2k 1
＝3－2k－k≥3＋2
?1?
?－?＝3＋22. ?－2k?·?k?
12
此时－2k＝－k?k＝－2. 2
故截距之和最小值为3＋22，此时l的方程为y－1＝－2(x－2)，即x＋2y－2－2＝0.
方法技巧
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目
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标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．
2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
冲关针对训练
已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． 解 (1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． xy11
设直线l的方程为a＋b＝1，则a＋b＝1，
?11?ab??＋所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)ab＝2＋b＋a≥2＋2??
ab
b·a＝4，
当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)设直线l的斜率为k，则k<0， 直线l的方程为y－1＝k(x－1)， 1??
??1－则Ak，0?，B(0,1－k)， ?
1?2?12222
??所以|MA|＋|MB|＝1－1＋k＋1＋1＋(1－1＋k)＝2＋k＋k2??
2
2
≥2＋21
k·k2＝4.
2
2
1
当且仅当k＝k2，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
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xyxy
1.(优质试题·大庆模拟)两直线m－n＝a与n－m＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
xynxy
解析 直线方程m－n＝a可化为y＝mx－na，直线n－m＝a可化m
为y＝nx－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.
2．(优质试题·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角，且sinθ＋cosθ5
＝5，则l的斜率为( )
1A．－2 1
C.2或2 答案 D
5
解析 ∵sinθ＋cosθ＝5，① 1
∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝5， 49
∴2sinθcosθ＝－5，∴(sinθ－cosθ)2＝5， 易知sinθ>0，cosθ<0， 35
∴sinθ－cosθ＝5，②
1
B．－2或－2 D．－2
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?由①②解得?5
?cosθ＝－5，
故选D.
25sinθ＝5，
∴tanθ＝－2，即l的斜率为－2，
3．(优质试题·江西南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A．150° C．120° 答案 A
B．135° D．105°
解析 由y＝
2－x2得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，
2为半径的圆的一部分，如图所示．
由题意知直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l的方程为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝?
2－??
?
|2k|1＋k
2
，弦长|AB|＝
|2k|?
2
?2
2?＝21＋k?
2－2k21＋k2
1
，所以S△AOB＝2×
|2k|1＋k2
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