高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题资料

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圆锥曲线基础知识与典型例题

第一部分：椭圆 1、知识关系网

2、基础知识点

(1).椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. (2).椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 x2y2?2?1(a?b?0) 2abx2y2?2?1(a?b?0) 2ba图形 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

(?a,0),(0,?b) (0,?a),(?b,0) x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b F1(?c,0)、F2(c,0) F1(0,?c)、F2(0,c) 焦距为F1F2?2c(c?0), c2?a2?b2 2e?c=1?b2 (0

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第二部分：双曲线 1、知识网络

2、基本知识点

(1)双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. (2)双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2aby2x2?2?1(a?0,b?0) 2ab图形 顶点 对称轴 焦点 焦距 (?a,0) (0,?a) x轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) 222焦距为F1F2?2c(c?0), c?a?b 离心率 精品文档

cb2e??1?2 (e>1) e越大双曲线开口越大 aa精品文档

第三部分：抛物线 1、知识网络

2、基本知识点

(1)抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线. (2)抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) x2??2py(p?0) 图形 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 x轴 pF(,0) 2x轴 F(?p,0) 2y轴 pF(0,) 2y轴 pF(0,?) 2原点(0,0) x??p 2x?p 2e?1 y??p 2y?p 2第四部分：圆锥曲线综合问题 1.直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定

直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.

方法：直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别

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是??0、??0、??0.

注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

①当直线存在斜率k时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则它的弦长AB?1?kx1?x2?1?k22(x1?x2)2?4x1x2 ②当直线斜率不存在时，则AB?y1?y2.

2b2(3)椭圆、双曲线的通径：（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦）

a椭圆焦点三角形面积公式：S?F1PF2?btan双曲线焦点三角形面积公式：S?F1PF22?F1PF2 （点P是椭圆上的点） 2b2?（点P是双曲线上的点）

?F1PF2tan2(4)抛物线相关结论：

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.（自己可以尝试证明这些结论） ．．．．．．．．．．．．

若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有如下结论：

2p2PPy1y2??p2 ②AF?①x1x2?，，BF?（?为AB所在直线倾斜角） 41?cos?1?cos?P21122p③AB?x1?x2?p?④ ⑤S?AOB? ??22sin?sin? AFBFP

⑥相切：a.以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；

b.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切； c.以AF或BF为直径端点的圆与轴相切. 2.圆锥曲线问题求解策略:

1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

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