。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤?(4)
2
2
baab?a＋b?2 (a，b∈R)．
??2?
≥?
a2＋b2?a＋b?2
2
? (a，b∈R)． ?2?
以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
a＋b2
，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
p2
1
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?
f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x) f(x)min (3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x) 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋1 x的最小值是2.( × ) (2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈(0，π 2)的最小值等于4.( × ) (3)“x>0且y>0”是“x＋yyx≥2”的充要条件．( × ) (4)若a>0，则a3 ＋1a2的最小值为2a.( × ) (5)不等式a2＋b2 ≥2ab与 a＋b2 ≥ab有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C 解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2 ≥xy， 即xy≤( x＋y2 2 )＝81， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2．已知f(x)＝x＋1 x－2(x<0)，则f(x)有( ) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 2 答案 C 解析 f(x)≤－2 －x1 －－2＝－4， x当且仅当x＝－1时，f(x)max＝－4. 3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A.≤ ab4C.ab≥2 答案 D 11 解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，≥，选项A， ab411a＋b4222 C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)－2ab＝16－2ab≥8，选项D 11 B.＋≤1 ab2 D．a＋b≥8 2 ababab成立． 4．(教材改编)已知x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 答案 1 16 解析 1＝x＋4y≥24xy＝4xy， 121 ∴xy≤()＝， 416 1 x＝，??21 当且仅当x＝4y＝，即?21 y＝??8 2 1 时，(xy)max＝. 16 5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m. 答案 25 解析 设矩形的一边为x m， 1 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， 2∴y＝x(10－x)≤[ 2 x＋ 2 －x]＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题型一 利用基本不等式求最值 3 命题点1 通过配凑法利用基本不等式 例1 (1)已知0 4x－5 的最大值为________． (3)函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________． 答案 (1)2 3 (2)1 (3)23＋2 解析 (1)x(4－3x)＝113x＋－3x24 3·(3x)(4－3x)≤3·[2]＝3， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝2 3时，取等号． (2)因为x<5 4 ，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋1 5－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝1 5－4x，即x＝1时，等号成立． 故f(x)＝4x－2＋1 4x－5 的最大值为1. (3)y＝x2＋2x2－2x＋＋x－ ＋3 x－1＝ x－1 ＝ x－ 2 ＋x－＋3x－1 ＝(x－1)＋ 3 x－1 ＋2≥23＋2. 当且仅当(x－1)＝ 3x－ ，即x＝3＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式 例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则11 a＋b的最小值为________． 答案 4 解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴11a＋ba＋b＝a＋a＋bb＝2＋baa＋b ≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝1 2 时等号成立．引申探究 4
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