2019年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.
（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；
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能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断. （3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性. （4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.
（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题. 3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题. 二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的
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内容（考生只需选考其中两个专题）.
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题. 具体考查要求如下： 1．必做题部分
要 求 内 容 A B C
集合及其表示 √ 1．集合 子集 √ 交集、并集、补集 √ 2．函数概念 与基本初等函 数Ⅰ 函数的基本性质 第3页 共30页
函数的概念 √ √
指数与对数 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 三角函数的概念 3．基本初等 函数Ⅱ（三 角函数）、 三角恒等 同角三角函数的基本关系式 正弦函数、余弦函数的诱导公式 正弦函数、余弦函数、正切函数的图 变换 象与性质 函数y?Asin(? x??)的图象与性质 √ 第4页 共30页
两角和（差）的正弦、余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 √ 4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √ 平面向量的概念 √ 平面向量的加法、减法及数乘运算 √ 平面向量的坐标表示 5．平面向量 平面向量的数量积 平面向量的平行与垂直 √ √ √ 等差数列 √ √ √ √
平面向量的应用 数列的概念 6．数列 第5页 共30页
等比数列 基本不等式 7．不等式 一元二次不等式 线性规划 √ 复数的概念 √ 8．复数 复数的四则运算 √ √ √ 导数的几何意义 9．导数及其应用 导数的运算 √ √ √ √ √
复数的几何意义 导数的概念 利用导数研究函数的单调性与极值 √ 第6页 共30页
导数在实际问题中的应用 √ √ √ √ √ 算法的含义 10．算法初步 流程图 基本算法语句 命题的四种形式 充分条件、必要条件、充分必要条件 √ 11．常用逻辑用语 简单的逻辑联结词 √ √ 合情推理与演绎推理 12．推理与证分析法与综合法 明 反证法 √ √ √ 全称量词与存在量词 第7页 共30页
抽样方法 √ √ √ √ √ √ √ 总体分布的估计 总体特征数的估计 13．概率、统随机事件与概率 计 古典概型 几何概型 互斥事件及其发生的概率 柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 14．空间几何体 柱、锥、台、球的表面积和体积 √ 平面及其基本性质 √ 15．点、线、面 之间的位置关系 直线与平面平行、垂直的判定及性质 √ 第8页 共30页
√ 两平面平行、垂直的判定及性质 直线的斜率和倾斜角 √ 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 16．平面解析 两条直线的交点 几何初步 √ √ √
√ 两点间的距离、点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 √ √ √ √ √
中心在坐标原点的椭圆的标准方程 与几何性质 17．圆锥曲线 中心在坐标原点的双曲线的标准方与方程 程与几何性质 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质
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2．附加题部分
要 求 内 容 A B C 曲线与方程 1．圆锥曲线 与方程 顶点在坐标原点的抛物线的标准 方程与几何性质 空间向量的概念 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 选修系列：不含选修系列中的内容 12空间向量共线、共面的充分必要条 件 空间向量的加法、减法及数乘运算 2．空间向量 空间向量的坐标表示 与立体几何 空间向量的数量积 空间向量的共线与垂直 直线的方向向量与平面的法向量 第10页 共30页
空间向量的应用 √ √ 3．导数及其简单的复合函数的导数 应用 数学归纳法的原理 4．推理与证明 数学归纳法的简单应用 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 加法原理与乘法原理 排列与组合 5．计数原理 二项式定理 离散型随机变量及其分布列 超几何分布 6．概率、统计 条件概率及相互独立事件 n次独立重复试验的模型及二项分 布 第11页 共30页
离散型随机变量的均值与方差 矩阵的概念 √ √ 二阶矩阵与平面向量 √ 常见的平面变换 √ √ √ √ √ √ 8.坐标系与 简单图形的极坐标方程 参数方程 √ √ 选修系列中个专题 447．矩阵与变矩阵的复合与矩阵的乘法 换 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值与特征向量 二阶矩阵的简单应用 坐标系的有关概念 极坐标方程与直角坐标方程的互化 第12页 共30页
参数方程 √ √ √ √ √ √ 直线、圆及椭圆的参数方程 参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用 不等式的基本性质 含有绝对值的不等式的求解 9．不等式选讲 分析法） 不等式的证明（比较法、综合法、 √ 算术-几何平均不等式与柯西不等式 √ 利用不等式求最大（小）值 运用数学归纳法证明不等式 三、考试形式及试卷结构 （一）考试形式
√ √ 闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.
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（二）考试题型
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.
2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （三）试题难易比例
必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.
附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1. 四、典型题示例 A.必做题部分
1. 设复数i满足(3?4i)z?|4?3i|（i是虚数单位），则z的虚部为_____ 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】4
52. 设集合A?{1,2},B?{a,a2?3},若A?B?{1}，则实数a的值为_ 【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.
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【答案】1.
开始 k←1 3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ． 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识， k2－5k+4>0本题属容易题. 【答案】5
4. 函数f(x)?ln(x?1)的定义域为
x?1Y 输出k 结束 N k←k +1 【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题. 【答案】(?1,1)?(1,??)
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图 如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根 棉花纤维的长度小于20mm.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm的频率为
0.04?5?0.01?5?0.01?5?0.3,故频数为0.3?100?30.
6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______. 【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.
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【答案】
7. 已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0?x??)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则?的值是________.
【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函
数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题. 【答案】.
8.在各项均为正数的等比数列?an?中，若a2?1,a8?a6?a4,则a6的值是______. 【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题. 【答案】4.
x29.在平面直角坐标系xOy中，双曲线?y2?1的右准线与它的两条渐近线分别交
356?3?6于P,Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是______.
【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题. 【答案】23
10.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?3cm，
AA1?2cm，则四棱锥A?BB1D1D的体积为
3
D
C B
cm．
A
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题. 【答案】6.
11.设直线y?x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数b的值是 .
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12
【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln2?1.
12.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1,1)上，
x?a,?1?x?0,?59?2其中f(x)??a?R.若f(?)?f()，则f(5a)的值是 . |?x|,0?x?1,22??5【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题. 【答案】?
13.如图，在?ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA?CA?4，BF?CF??1，则BE?CE的值是 . 【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题. 【答案】.
14. 已知正数a， b，c满足：5c?3a≤b≤4c?a，clnb≥a?clnc，则的取值范围是 ．【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题. 【答案】[e,7] 二、解答题
15．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?3，b?26，B?2A. （1）求cosA值； （2）求c的值.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能
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2578ba
力.
本题属容易题. 【参考答案】
（1）在?ABC中，因为a?3，b?26，B?2A， 故由正弦定理得 所以cosA?6. 33262sinAcosA26??，于是. sinAsin2AsinA3(2)由(1)得cosA?3.所以sinA?1?cos2A?.
3又因为B?2A，所以cosB?cos2A?2cos2?1?. 从而sinB?1?cos2B?22. 36313在?ABC中，因为A?B?C??，
所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?因此由正弦定理得c?asinC?5. sinA53. 916．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC.
【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题
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【参考答案】
证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF?AD，所以EF∥AB. 又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABDI平面BCD=BD，
BC?平面BCD，BC?BD，
所以BC?平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC?AD.
又AB⊥AD，BCIAB?B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC， 又因为AC?平面ABC， 所以AD⊥AC.
x2y217.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2+2=1(a＞b＞0)ab的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为
8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题.
【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c.
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12
12a2c1?8?因为椭圆E的离心率为2，两准线之间的距离为8，所以a2，c，
22解得a?2,c?1，于是b?a?c?3，
x2y2??143因此椭圆E的标准方程是.
（2）由（1）知，F1(?1,0)，F2(1,0).
设P(x0,y0)，因为点P为第一象限的点，故x0?0,y0?0. 当x0?1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.
y0y0当x0?1时，直线PF1的斜率为x0?1，直线PF2的斜率为x0?1.
?x0?1x?1?0因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为y0，直线l2的斜率为y0，
从而直线l1的方程：直线l2的方程：
y??y??x0?1(x?1)y0， ①
x0?1(x?1)y0. ②
221?x01?x0x??x0,y?Q(?x0,)y0，所以y0. 由①②，解得
21?x0??y02222x0?y0?1x0?y0?1yQ0因为点在椭圆上，由对称性，得，即或. 22x0y0??143又P在椭圆E上，故.
2222?x0?x0?y0?1?y0?1?2?222?x0y0?x0y04737?1?1x0?,y0?????4343??77由，解得；，无解.
4737,)77因此点P的坐标为.
(18. 如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护
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区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处，（OC为河岸），tan?BCO?. （1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.. 【参考答案】 解法一：
如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)， 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－. 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=. 设点B的坐标为(a,b)，则k BC=
b?04b?603??, k AB=?, a?1703a?04344343解得a=80，b=120. 所以BC=(170?80)2?(0?120)2?150. 因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y??(x?170)，即4x?3y?680?0
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即
r?|3d?680|680?3d?. 5543因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
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?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35
?r?(60?d)≥80?680?3d?(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=. 因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=CF=
OC850500,从而AF?OF?OA?. ?cos?FCO33680. 343453545400又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.
3因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60). 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO， 故由(1)知，sin∠CFO =
680?3dMDMDr3. ???,所以r?6805MFOF?OM?d53因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
?680?3d?d≥80??r?d≥80?所以?即?5解得10≤d≤35
680?3d?r?(60?d)≥80??(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
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19. 设函数f(x)?lnx?ax,g(x)?ex?ax，其中a为实数.
（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论. 【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题．
【参考答案】解：(1)令f′(x)＝?a?1x1?ax＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，x故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.
综上，有a∈(e，＋∞)．
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.
因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1. 结合上述两种情况，有a≤e－1.
∈当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零点；
∈当a＜0时，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[ea,1]上的图象不间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点．
另外，当x＞0时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．
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1x1x
∈当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.
当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e. 当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．
实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．
另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．
下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.
为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h(x)＝ex－x2，则h′(x)＝ex－2x，再设l(x)＝h′(x)＝ex－2x，则l′(x)＝ex－2.
当x＞1时，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x＞2时，
h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，
从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时， h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.
当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在
[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．
综合∈，∈，∈，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，
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1x1x1x
当 0＜a＜e－1时，f(x)的零点个数为2.
20. 设数列{a}的前n项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得
nnSn?am，则称{a}是“H数列”．
n（1）若数列{a}的前n项和S?2(n?N)，证明：{a}是“H数列”；
n?nnn（2）设{a}是等差数列，其首项an1?1，公差d?0．若{an}是“H数列”，求d的值；
n（3）证明：对任意的等差数列{a}，总存在两个“H数列”{b}和{c}，使得
nnan?bn?cn(n?N?)成立．
【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证能力．本题属难题． 【参考答案】 （1）当n≥2时，a当n?1时，a∈n?1时，Sn11n?Sn?Sn?1?2n?2n?1?2n?1
?S1?2
?a1，当n≥2时，Sn?an?1
∈{a}是“H数列” （2）Sn?na1??n(n?1)n(n?1)d?n?d 22?n对?n?N，?m?N使S?am，即n?n(n?1)d?1?(m?1)d 21取n?2得1?d?(m?1)d，m?2?d
∈d?0，∈m?2，又m?N，∈m?1，∈d??1
?（3）设{a}的公差为d
n令bn?a1?(n?1)a1?(2?n)a1，对?n?N?，bn?1?bn??a1
cn?(n?1)(a1?d)，对?n?N?，cn?1?cn?a1?d
则bn?cn?a1?(n?1)d?an，且{bn}，{cn}为等差数列
{bn}的前n项和Tn?na1?n(n?1)n(n?3)(?a1)，令Tn?(2?m)a1，则m??2 22第25页 共30页
当n?1时m?1； 当n?2时m?1；
当n≥3时，由于n与n?3奇偶性不同，即n(n?3)非负偶数，m?N
?因此对?n，都可找到m?N，使T?n?bm成立，即{bn}为“H数列”．
{cn}的前ｎ项和Rn??n(n?1)n(n?1)(a1?d)，令cn?(m?1)(a1?d)?Rm，则m??1 22?∈对?n?N，n(n?1)是非负偶数，∈m?N 即对?n?N，都可找到m?N，使得R??n?cm成立，即{cn}为“H数列”
因此命题得证. B．附加题部分 1．选修4?2矩阵与变换 已知矩阵A????10??12??1，，求B?AB． ????02??06?【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题． 【参考答案】 设A的逆矩阵为??ab???10??ab??10???a?b??10?，则，即故a??1，???02??cd??01??2c2d???01?，cd??????????????10?1?，所以，b?0，c?0，d?，从而A的逆矩阵为A?1??1?0?2?2???10??12???1?2??1??AB????03?． ?01??06?????2?第26页 共30页
2．选修4?4坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆C经过点P?求圆C的极坐标方程．
【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。本题属容易题． 【参考答案】
∵圆C圆心为直线?sin???????3??3?2?2，?4圆心为直线?sin??，??????3??3?2?与极轴的交点，
与极轴的交点，
∴在?sin???????3??3?2?中令?=0，得??1。
∴圆C的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆C经过点P?2，?4?，∴圆C的半径为PC???22?12?2?1?2cos?4=1。
∴圆C经过极点。∴圆C的极坐标方程为?=2cos?。 3．选修4?5不等式选讲
已知a,b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)?
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题． 【参考答案】
由a,b是非负实数，作差得
a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a?(a?b)((a)?(b))55
当a?b时，a?b,从而(a)5?(b)5,得(a?b)((a)5?(b)5)?0
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当a?b时，a?b,从而(a)5?(b)5,得(a?b)((a)s?(b)5)?0. 所以a3?b3?ab(a2?b2).
5. 如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2,AB?1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1?DN?M的大小为?. （1）当??900时，求AM的长； （2）当cos??6时，求CM的长。 6【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力．本题属中等题． 【参考答案】
建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz。
设CM?t(0?t?2)，则各点的坐标为A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),M(0,1,t) 所以DN?(,1,0)，DM?(0,1,t),DA1?(1,0,2).设平面DMN的法向量为
n1?(x1,y1,z1)，则n1?DN?0,n1?DM?0,
1212即x1?2y1?0,y1?tz1?0，令z1?1,则y1??t,x1?2t. 所以n1?(2t,?t,1)是平面DMN的一个法向量.
设平面A1DN的法向量为n2?(x2,y2,z2),则n2?DA1?0,n2?DN?0 即x2?2z2?0,x2?2y2?0,令z2?1,则x2??2,y2?1
所以n2?(?2,1,1)是平面A1DN的一个法向量,从而n1?n2??5t?1 (1)因为??90?,所以n1?n2??5t?1?0解得t?,从而M(0,1,) 所以AM?12?12?()?1551? 51515(2)因为|n1|?5t2?1,|n2|?6
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所以cos?n1,n2??n1?n2|n1||n2|??5t?165t?1?5t?12
??61,解得t?0或t?. 6212因为?n1,n2???或???,所以
65t2?112根据图形和(1)的结论可知t?,从而CM的长为.
x(x?0)6. 已知函数f(x)?sin，记f(x)为fx0nn?1(x)的导数，n?N?．
（1）求2f1??f???的值； ???2222（2）证明：对任意的n?N，等式nf?n?1??f????2成立． ???4442n【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题. 【参考答案】
sinx??cosxsinx?(1)解：由已知，得f1(x)?f0?(x)???2, ??xxx??cosx???sinx??sinx2cosx2sinx?于是f2(x)?f1?(x)???????, ??2?23xxx?x??x?所以f1()??2??216???故,f()???,2f()?f()??1. 21223?2??2224000(2)证明：由已知，得xf(x)?sinx,等式两边分别对x求导，得f(x)?xf?(x)?cosx，
)，类似可得 即f(x)?xf(x)?cosx?sin(x??2012f1(x)?xf2(x)??sinx?sin(x??)， 3f2(x)?xf3(x)??cosx?sin(x?3?)， 24f3(x)?xf4(x)?sinx?sin(x?2?).
下面用数学归纳法证明等式nfn?1(x)?xfn(x)?sin(x?n?)对所有的n?N*都成立. 2(i)当n=1时，由上可知等式成立. (ii)假设当n=k时等式成立, 即kf因为[kfk?1k?1(x)?xfk(x)?sin(x?k?). 2?(x)?xfk(x)]??kfk??1(x)?fk(x)?xfk(x)?(k?1)fk(x)?fk?1(x),
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[sin(x?k?)]??cos(x?k?)?(x?k?)??sin[x?222(k?1)?]， 2所以(k?1)f(x)?fk?sin[x?k?1(x)(k?1)?]. 2所以当n=k+1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式nf令x?，可得nf4
n?1(x)?xfn(x)?sin(x?n?)对所有的n?N*都成立. 2?n?1(?)??fn(?)?sin(??n?)(n?N*). 44442所以nf(?)???n?144fn(4)?22(n?N*).
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