结合100e-100>e+1可知f(2 018)-ef(2 017)>e+1,排除D选项,故选A. (2)令F(x)=f(x)-2x, 则F(-x)=f(-x)-2x,
所以F(x)+F(-x)=f(x)-[4x-f(-x)]=0, 故F(x)为奇函数.
2
22
当x<0时,F'(x)=f'(x)-4x<-<0, 所以F(x)在(-∞,0)上是减函数, 而f(0)=0-f(-0),所以f(0)=0. 故F(x)为减函数.
因为f(m+1)=F(m+1)+2(m+1), f(-m)=F(-m)+2m,
所以F(m+1)+2(m+1)≤F(-m)+2m+4m+2, 所以F(m+1)≤F(-m), 所以m+1≥-m,
2
2
2
2
所以m≥-.故选A.
(3)令g(x)=ef(x),故g'(x)=e[f(x)+f'(x)], 由f'(x)+f(x)>0可得,g'(x)>0, 所以函数g(x)在R上单调递增, 又f(0)=1,所以g(0)=1,
所以不等式ef(x)>1的解集为(0,+∞). 故选B.
函数单调性的简单应用主要有两个方面:(1)根据函数的单调性,比较函数值的大小;(2)根据函数的单调性解函数不等式.解题的基本思路是根据已知条件和求解目标,构造函数,通xx
x
过构造的函数的单调性得出结论.常见的构造函数类型为乘积型h(x)g(x)和商型,具体的如xf(x),ef(x),x,tan x·f(x)等,视具体情况而定. 热点训练2:(1)(2018·安徽江南十校二模)y=f(x)的导函数满足:当x≠2时,(x-2)(f(x)+2f'(x)-xf'(x))>0,则( ) (A)f(4)>(2+4)f()>2f(3) (B)f(4)>2f(3)>(2+4)f() (C)(2+4)f()>2f(3)>f(4) (D)2f(3)>f(4)>(2+4)f()
(2)(2018·河北石家庄二模)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)ln x+f(x)>0(其中f'(x)为f(x)的导函数),若a>1>b>0,则下列各式成立的是( ) (A)a(C)a
f(a)f(a)
>b
f(b)
>1
(B)a(D)a
f(a)f(a)
f(b) <1 <1 f(b) >1>b f(b) (3)(2018·黑龙江哈师大附中三模)若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( ) (A)[-1,1] (B)[-1,3] (C)[-3,3] (D)[-3,-1] (4)(2018·天津河北区二模)已知函数f(x)=x-ax+(a-1)ln x,其中a>2. ①讨论函数f(x)的单调性; 2 ②若对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,恒有>-1,求a的取值范围. (1)解析:令g(x)=, 则g'(x)=, 因为当x≠2时,(x-2)[f(x)-(x-2)f'(x)]>0, 所以当x>2时,g'(x)<0, 即函数g(x)在(2,+∞)上单调递减, 则g( )>g(3)>g(4), 即>>, 即(2+4)f()>2f(3)>f(4).故选C. (2)解析:构造函数h(x)=f(x)ln x, 则h'(x)= 由题可知h'(x)>0, , 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增. 由a>1>b>0可得h(a)>h(1)>h(b). 所以f(a)ln a>0,f(b)ln b<0, 所以a f(a) >1>b f(b) , 故选D. (3)解析:因为f(x)=2x+sin x·cos x+acos x, 所以f'(x)=2+cos 2x-asin x =-2sinx-asin x+3, 2 设sin x=t,-1≤t≤1. 令g(t)=-2t-at+3, 因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 所以g(t)≥0在[-1,1]上恒成立, 因为二次函数图象开口向下, 所以 ?-1≤a≤1, 2 即a的取值范围是[-1,1],故选A. (4)解:①由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞), 因为f(x)=x-ax+(a-1)ln x, 2 所以f'(x)=x-a+令f'(x)=0, 得x=1或x=a-1, =, 因为a>2,所以a-1>1. 由f'(x)>0,解得0 由f'(x)<0,解得1 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(a-1,+∞),单调递减区间为(1,a-1). ②设x1>x2,则不等式即f(x1)+x1>f(x2)+x2, >-1等价于f(x1)-f(x2)>x2-x1. 令g(x)=f(x)+x=x-(a-1)x+(a-1)ln x, 则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数. 2 所以g'(x)=x-(a-1)+≥0在(0,+∞)上恒成立, 而x+≥2, 当且仅当x=,即x=时等号成立, 所以2≥a-1, 因为a>2, 所以4(a-1)≥(a-1), 即a-6a+5≤0, 所以1≤a≤5.而a>2, 2 2 所以2 所以实数a的取值范围是(2,5]. 导数研究函数的极值、最值 考向1 导数研究函数极值 【例5】 (1)(2018·河南中原名校质检二)已知函数f(x)=2f'(1)ln x-x,则f(x)的极大值为( ) (A)2 (B)2ln 2-2 (C)e (D)2-e 2 (2)(2018·黑龙江哈三中一模)设函数f(x)=ln x+ax+bx,若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是( ) (A)-∞, (B)(-∞,1) (C)[1,+∞) (D),+∞ x (3)(2018·河南高三最后一模)若函数f(x)=e-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,则a的取值范围为( ) (A)(-e,-e) (B)-∞,- 2 (C)-∞,- (D)(-∞,-e) 解析:(1)f(x)=2f'(1)ln x-x, 则f'(x)=2f'(1)-1, 令x=1得f'(1)=2f'(1)-1, 所以f'(1)=1, 则f(x)=2ln x-x,f'(x)=-1=, 所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 则f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2,故选B. (2)f'(x)=+2ax+b= 若x=1是函数f(x)的极大值点, 所以f'(1)=0即b=-(2a+1), (x>0), 所以f'(x)==,
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