2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

【梳理自测】

一、合情推理

1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，?中的x等于( )

A．28 B．32 C．33 D．27

2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝S扇等于( )

r2l2A. B. 22lr

C. D．不可类比 2

3．给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

4．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.

答案：1.B 2.C 3.B 4.①②④ ◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理．

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底×高

，可推知扇形面积公式2

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

二、演绎推理

∵a＝(1，0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1，0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0. ∴a⊥b.

大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直； 小前提：a·b＝0； 结论：a⊥b．

◆此题主要考查了以下内容：

(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

【指点迷津】

1．一个防范

合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．两个要点

(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性． (2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．

考向一 归纳推理

121321

例题1 (1)(2014·山东高考专家原创卷)已知数列：，，，，，，

112123

4321

，，，，?，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 012 1234

项是________．

(2)(2014·济宁模拟)给出下列命题：

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1

命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；

x8

命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；

x27

命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；

x

??

请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．

【审题视点】 (1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数． (2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此(语言)命题相似的内容． 1

(1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：；

1

213214321

第二组：，；第三组：，，；第四组：，，，；?；

121231234nn－1n－2n－r＋11n（n＋1）

第n组：，，，?，，?，.由不等式＜2 012，

123rn2

n（n＋1）

即n(n＋1)＜4 024，得n≤62(n∈N*)，且当n＝62时，＝1 953，

2

2 012－1 953＝59，即这个数列的第2 012项是上述分组中的第63组中的

63－59＋15

第59个数，即第2 012项是＝.

5959

(2)点的横坐标是命题“n”的值，纵坐标为n2，直线的斜率为n，曲线的系数为n3，

n3

总结为点(n，n)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点．

x5n32

【答案】 (1) (2)点(n，n)是直线y＝nx与双曲线y＝的一个交点

59x2

【类题通法】 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．

变式训练

1．(2014·青岛模拟)观察下列等式：＝1－

3113141

×＝1－2，×＋×2 1×2221×222×32

13141511

×＋×2＋×3＝1－，?，由以上等式推测到一个一般结论为2，3×21×222×323×424×23

________．

解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母

1

中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指

（n＋1）2n314151n＋21

数一致，其他就好确定，从而得到左侧为×＋×2＋×3＋?＋×n. 1×222×323×42n（n＋1）2

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答案：

314151n＋211*

×＋×2＋×3＋?＋×n＝1－n(n∈N) 1×222×323×42n（n＋1）2（n＋1）2

考向二 类比推理

例题2 (2014·湖北省八校高三联考)已知△ABC的顶点A，B分别是离心

x2y2

率为e的圆锥曲线＋＝1的焦点，顶点C在该曲线上；一同学已正确地

mn推得：当m＞n＞0时有e(sin A＋sin B)＝sin C．类似地， 当m＞0，n＜0时，有________．

【审题视点】 把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论．

x2y2

当m＞n＞0时，＋＝1为椭圆，|AC|＋|BC|＝2m，

mn由正弦定理知，?

|AC||BC||AB||AC|＋|BC||AB|

＝＝?＝ sin Bsin Asin Csin B＋sin Asin C2m2ccsin C＝?e＝＝?e(sin A＋sin B)

sin A＋sin Bsin Csin A＋sin Bmx2y2

＝sin C．当m＞0，n＜0时，＋＝1为双曲线，||AC|－|BC||＝2m，

mn由正弦定理知，?

|AC||BC||AB|||AC|－|BC|||AB|

＝＝?＝ sin Bsin Asin C|sin B－sin A|sin C2m2ccsin C＝?e＝＝ |sin A－sin B|sin Cm|sin A－sin B|

?e|sin A－sin B|＝sin C. 【答案】 e|sin A－sin B|＝sin C

【类题通法】 (1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个 对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般 步骤为：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题 (猜想)．

(2)熟悉常见的类比对象 ①平面与空间的类比

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