—:号—位—座— — — — — — :名—姓— — — —题 — — — —答 — :号— 学— —要 — — — —不 :— 别— 班— —内 — — — —线 — :业— 专— —封 — — — —密 :—级—年— — — — — —:)院—(—系—— ∞考 试 时 间 玉林师范学院期末课程考试试卷
课程名称：近世代数 考试专业：数学与应用数学 考试年级：
线题 号 一 二 三 四 总 分 应得分 24 10 45 31 满分：100 实得分 评分： 评卷人 签 名
得 分 评卷人 一、 填空题（每空2分，共24分）
1、在整数集Z中定义等价关系“~”：a~b?a?bm(od3)． ∞则由“~”所决定的等价分类为： ．
订 2、设G=?a?是循环群，若 a??，则G与 加群同构。 3、设G是一个
6
阶群，则G的真子群的一切可能的阶数
是 。
4、设G是一个10阶群，H是G的一个5阶子群，则H在G里的指数为 。 5、设R是一个特征为13的交换环，则对于a,b?R，有(a?b)13? 。 6、对于模n的剩余类环Z n?{[0],[1],?,[n?1]}，当n是 时，Zn是域。
装7、已知整数集R=Z关于运算a?b=a+b-1, a⊙b=a+b-ab,作成一个有单位元的环（R，
?, ⊙），则环R的单位元为 ，零元为 。
8、剩余类环Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}中，它的零因子有： 。 9、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R I是一个域当且仅当I ∞是 。
10、整数环Z的单位是 ，元素5的相伴元是 。
二、单项选择题（每小题2分，共10分）
得 分 评卷人 1、设整数集Z，Z的代数运算是普通乘法，下列映射是Z到Z的
同态满射的有（ ）
A、 x→-x； B、x→∣x∣； C 、x→x
2、设H是群G的子群，a,b?G，则aH=bH的充分必要条件是（ ）
A、b?1a?H； B、ab?1?H； C、ab?H。
3、下列正确的命题是（ ）
A、欧氏环必是唯一分解环； B、主理想环必是欧氏环；
C、唯一分解环必是主理想环； 4、在有1的环R中，下列命题正确的有（ ）
A、 R的单位必是单位元； B、R的单位元必是单位； C、R的零元必是零因子。
5、若R是有单位元的交换环,则R的主理想(a)中元素的形式为（ ） A、
?xiayi(xi,yi?R)； B、ra?na(r?R,n?Z)；
C、ra(r?R)
三、计算题（15+10+10=35分）
1、（15分）设9元置换????123456789?，?123456789??312564798??????517624983? ?1）求??；
2）将?表示为不相连的循环置换的乘积； 3）求?的逆元。
2、(10分)设剩余类环Z8?{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]} ，求Z8的所有理想，并指出哪些是最大理想
3、(10分)设高斯整环R??a?bia,b?Z?，求商环R(1?i)，并指出此商环
的零元及单位元。
得 分 评卷人
四、证明题（6+16+9=31分）
1、（6分）假设I1和I2是环R的两个理想.证明:I1I2也是R的理想。 2、(16分)已知R??a?b2ia,b?Z?关于普通数的加法及乘法作成一个环，(1) 证明R是整环； （2）求R的所有单位； （3）求2?2i的相伴元； (4)证明1?2i是R的素元；
3、（9分）在二阶矩阵构成的环Z2?2（运算为矩阵的加法与乘法，矩阵中元
素为整数）中，令
??02a??S???a?Z?， ???00??
证明：（1）S是Z2?2的子环；
02a?（2）映射?(a)?? 是整数加群Z到加群S的同构映射。 ??(a?Z),?00?
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