武汉理工大学2004年高等数学(上)试卷及标准答案

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称高等数学（上） 题号 一 二 三 四 五 六 专业班级2004级工科专业 七 八 九 十 总分 100 题分 15 15 14 14 21 11 10 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） ?ex?1,x?01. 设f(x)??，则（ ） ?sinx,x?0A. limf(x)不存在 B.limf(x)存在，但f(x)在x?0处不连续 x?0x?0c. f(x)在x?0处连续，但不可导 D.f(x)在x?0处可导. 2．已知函数f(x)在x?0的某个邻域内连续，且f(0)?0，limA．f?(0)存在，且f?(0)?0 B.f?(0)不存在 c.f(x)在x?0处取得极小值 D.f(x)在x?0处取得极大值. 3．设f(x)?f(x)1?cosx?2，则（ ） x?0?x02ln(1?t)dt，g(x)?x，则当x?0时，f(x)是g(x)的( ) 3A．等价无穷小 B. 同阶但非等价无穷小 c.高阶无穷小 D.低阶无穷小. 4. 曲线y?x?1x在开区间(1,??)内( ) A．单调减少且凹 B.单调增加且凹 c.单调减少且凸 D.单调增加且凸. 35. 曲线y?sin2x与x轴、y轴及直线x??2围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A.3?2 B.23? c.2? D.3? . 二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1.设y?arctan1?x1?x，则dy?(n). (0)= 2. 设f(x)?ln(1?x)，则f

3. 设f(x)的一个原函数是sinx，则?4. 定积分?1?1f(x)1?sinx2dx= . x(cos23x?5x)dx= . 5.弹簧在拉升过程中，需要的力F与伸长量s成正比，即F?ks(k是比例系数）.如果把弹簧由原长拉伸4 个单位，不计单位，计算所作的功W?. 三．求下列极限（本题共2小题，每小题7分，共14分） 211ln(1?x)1．lim(?cotx) 2．lim(cosx) x?0xx?0x1四．计算下列导数（本题共2小题，每小题7分，共14分） 2?x?a(t?sint)dy1．已知esinx?y?1?0，求 2．设?，求2. y?a(1?cost)dxx?0dx?ydy五．计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，共21分） 1. ?lnx(2?x)312dx. 2.?dxx2. 21?xdx3．???1ex?1?e1?x. 六．解答题（本题11分） 22设直线y?ax(0?a?1)与曲线y?x围成的平面图形的面积为S1，该直线与曲线y?x及直线x?1围成的平面图形的面积为S2.问当a取何值时，S1?S2取得最小值，最小值是多少？ 七．证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1.证明：当x?0时，x?12x?ln(1?x). 22.设函数f(x)与g(x)都在[0,1]上连续，证明:至少存在一点??(0,1)，使得 g(?)?f(x)dx?f(?)?g(x)dx. 0?1?

武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸 | 课程名称：高等数学（上）（ A卷） |一、单项选择题（每题3分，共15分）

1.D; 2.C; 3.C; 4.B; 5.B. |二、填空题（每题3分，共15分） | 1.

dx1?x2； 2.(?1)n?1(n?1)!； 3. arctan(sinx)?c 4. 2； 5. 8k.

|三、计算极限（每题7分，共14分） | 1.原式?limtanx?xxtanx22x?0?limtanx?xx3x?0 ------------------------------------3分

13?limsecx?13x2x?0?limtanx3x22x?0? ---------------------------------------------------7分 lncosxx22.原式?exp{limlncosxln(1?x)2x?0}?exp{limx?0} --------------------------------------3分

?sinx?cosx?exp{lim}?e2 ---------------------------------------------------------------7分 x?02x1|四、计算导数（每题7分，共14分） | 1.解 原方程两边对x求导，得：ey?| 解得：

dydx??ecosxesinx?1yydydx?sinx?e?cosx?ydydx?0 --------4分

-----------------------------5分

dydxx?0| 当x?0时，y?1； 故 2.解

dydx?asinta(1?cost)?sint1?cost??e ------------------------------------7分

(?cott2) ----------------------------------------------3分

cost(1?cost)?sintdydx222?(1?cost)2a(1?cost)??1a(1?cost)2------------------------------------7分

五、计算下列积分（每题7分，共21分） | 1.解 原式??lnxd?lnx2?xlnx2?x12?x ---------------------------------------------2分

??x(2?x) -----------------------------------------4分

12[?dxx??dx2?x]------------------------------------5分

dx?? ?lnx2?x?21lnx2?x2?c --------------------------------------7分

| 2.解 原式x?tant1sint????33sectdttant?sect2????3costdtsint2-------------------------4分

44???4?2?233 -------------------------------------7分

3.解 原式????1ex?1x?121?(e)dx ------------------------------------------4分

?arctanex?1??1??4 -----------------------------------------7分

|六、应用题(本题11分) | 解（1）S?S1?S2??13a?3?a0(ax?x)dx?132?1a(x?ax)dx-----------------------4分

212a? ---------------------------------------------6分

2（负值舍去） ----------------------9分 22?0 （2）由dSda?a?2212?0，得a? 又dSda2a?22?2aa?22?

所以当a?22时，S取极小值，

222?62而驻点唯一，故所以当a?时，S取最小值，最小值为 ---11分

七、证明题（每题5分，共10分） 1.证明 设f(x)?ln(1?x)?x? f?(x)? 又11?x?1?x?12x2 ------------------------------------2分

?0,x?0 ---------------------------3分

x21?xf(0)?0 ，则当x?0时，f(x)?f(0)?0 ----------------4分

12x?ln(1?x) -------------------------------5分

2 故当x?0 时，x?2.证明 设F(x)??x0f(t)dt?g(t)dt --------------------------------------2分

x1 显然在[0,1]上连续，在(0,1)内可导

又F(0)?F(1)?0 ------------------------------------------------3分 由罗尔定理知，???(0,1)，使F?(?)?0 --------------------------4分 而 F?(x)?g(x)?f(t)dt?f(x)?g(t)dt

0xx1所以 g(?)?f(x)dx?f(?)?g(x)dx.-----------------------------5分

0?1?