JP
并说明理由；
②搅匀后乙准备从剩余的三张卡片中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，搅匀后再任意抽取一张，记下数字．求两次摸到不同数字卡片的概率．
解：(1)这四个数字的众数为8.
(2)①原来四个数字5，6，8，8的中位数为7，现在三个数字5，8，8的中位数为8，中位数不相同．
②列表如下：
5 8 8 5 (5，5) (8，5) (8，5) 8 (5，8) (8，8) (8，8) 8 (5，8) (8，8) (8，8) 一共有9种等可能结果，其中两次摸到不同数字卡片有4种等可能结果． 4
∴P(两次摸到不同数字卡片)＝.
9
22．(本小题满分9分)有规律的一组数，部分数据记录如下：
第1个数 －24 第2个数 －12 第3个数 －8 第4个数 －6 … … 第8个数 －3 … … 第n个数 －24 n(1)用含n的代数式表示第n个数； (2)若第n个数大于－2，求n的最小值； (3)若第m个数比第2m个数小4，求m的值．
24
解：(2)由题意，得－＞－2，解得n＞12.∴n的最小值为13.
n2424
(3)由题意，得－＋4＝－，解得m＝3.
m2m
经检验，m＝3是原方程的根．∴m＝3.
23．(本小题满分9分)点A，B分别在∠DPE的两边上，且PA＝PB，以AB为直径作半圆O，连接PO并延长交半圆O于点C.
(1)连接AC，BC，求证：△PAC ≌△PBC；
(2)如图1，若∠APB＝60°，PA＝4，求阴影部分的面积；
(3)如图2，若点O是△PAB的外心，判断四边形APBC的形状，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：∵PA＝PB，OA＝OB，∴∠CPA＝∠CPB. 又∵PC＝PC，∴△PAC ≌△PBC(SAS)． (2)∵∠APB＝60 °，PA＝PB，OA＝OB， ∴∠CPA＝∠CPB＝30 °，OP⊥AB.
JP
∵PA＝4，∴AO＝2.
90π×21
∴阴影部分的面积为－×2×2＝π－2.
3602
(3)四边形APBC是正方形．理由：∵点O是△PAB的外心，∴OA＝OB＝OP.
∵OC＝OA，∴OA＝OB＝OP＝OC. ∴四边形APBC是矩形．
又∵PA＝PB，∴四边形APBC是正方形．
24．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(4，a)，B(6，a)，C(6，a＋2)，直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过一定点E.
(1)求点E的坐标；
(2)如图1，若直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，求点D的坐标；
(3)如图2，当k＝a＋2＜0，且直线y＝kx－k＋1(k≠0)与正方形ABCD有交点时，求k的取值范围．
2
解：(1)当x＝1时，y＝k－k＋1＝1. ∴点E的坐标为(1，1)．
(2)∵直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，A(4，a)，C(6，a＋2)，
???a＝4k－k＋1，?k＝1，?∴解得? ?a＋2＝6k－k＋1，?a＝4.??
∵四边形ABCD是正方形，A(4，a)，B(6，a)， ∴AD＝AB＝2.∴D(4，a＋2)． ∴D(4，6)．
(3)∵k＝a＋2＜0，
1
∴当直线经过点C时，有k＝6k－k＋1，解得k＝－；
43
当直线经过点A时，有k－2＝4k－k＋1，解得k＝－. 231
∴k的取值范围为－≤k≤－.
24
25．(本小题满分10分)如图1，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EDC，直线CD交直线AB于点M.
发现：AC＝1；
探究1：如图2，若点M恰好是AB的中点，DE交AB于点N，求MN的长；
探究2：在旋转过程中，当△BMD是等腰三角形时，求点A所旋转的路径长．(结果保留
JP
π)
解：探究1：∵∠ACB＝90 °，M是斜边AB的中点，AB＝2，∴CM＝BM＝1. ∴∠BCM＝∠B＝30 °.∴BC＝3.
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α(0 °＜α＜180 °)得到△EDC， ∴∠B＝∠D＝30 °，CD＝BC＝3.∴∠BCM＝∠D＝30 °.∴DE∥BC. ∴∠B＝∠DNM＝30 °.∴∠DNM＝∠D＝30 °.
∴MN＝DM＝CD－CM＝3－1.
探究2：①如图3，当0 °＜α＜90 °时，连接BD，由题意得CD＝BC. 180 °－αα
∵∠DCB＝α，∴∠CDB＝∠CBD＝＝90 °－，
22αα
∠DMB＝α＋30 °，∠DBM＝90 °－－30 °＝60 °－.
22
α
当BM＝BD时，有∠CDB＝∠DMB，即90 °－＝α＋30 °，解得α＝40 °.
2
402
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
α
当DM＝DB时，有∠DMB＝∠DBM ，即α＋30 °＝60 °－，解得α＝20 °.
2201
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
②如图4，当90 °≤α＜120 °时，∠CDB＝∠CBD＝αα
∴∠BDM＝30 °＋90 °－＝120 °－，
22
180 °－αα
＝90 °－， 22
JP
αα
∠DBM＝90 °－－30 °＝60 °－，∠BMD＝α.
22易知此时不存在等腰三角形；
180 °－αα
③如图5，当120 °≤α＜150 °时，∠CDB＝∠CBD＝＝90 °－，
2211
当DM＝DB时，∠M＝∠DBM＝∠CDB＝45 °－α.
24∵∠DBM＝30 °－(90 °－
αα
)＝－60 °， 22
1α
∴45 °－α＝－60 °.∴α＝140 °.
42
1407
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
④如图6，当150 °≤α＜180 °时，易得当BD＝BM时，α＝160 °， 1608
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π.
1809
217
综上，在旋转过程中，当△BMD是等腰三角形时，点A所旋转的路径长为π或π或π
9998
或π. 9
26．(本小题满分12分)某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x.现有甲、乙两种改造方案：
甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4 000元，但改造支出费用Q甲由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2 500元(总利润＝生产营销利润－改造支出费用)．设甲方案的总利润为W甲(元)，经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x 总利润W甲(元) 20 9 500 40 5 500 乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3 500元，改造支出费用Q乙与x之间满足函数关系式：Q乙＝(1 500＋20a)x(a为常数，60≤a≤90)，且在使用过程中一共还需支出维
2
护费用4x元(总利润＝生产营销利润－改造支出费用－维护费用)，设乙方案的总利润为W乙(元)．
(1)分别求W甲，W乙与x的函数关系式； (2)若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
(3)如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大？
2
解：(1)由题意，可设W甲＝4 000x－(kx＋bx＋2 500)，
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