第4讲 数列求和
题型1 数列中an与Sn的关系 (对应学生用书第11页)
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．数列{an}中，an与Sn的关系：
?＝?S1 an＝?
?Sn－Sn－?
，
2．求数列{an}通项的方法：
(1)叠加法
n
形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的数列应用叠加法求通项公式，an＝a1＋∑f(k)(和可
k＝2求)． (2)叠乘法 形如
ana2a3an
＝f(n)(n≥2)的数列应用叠乘法求通项公式，an＝a1···…·an－1a1a2an－1
(积可求)． (3)待定系数法
形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的数列应用待定系数法求通项公式，an＋
?μ??μ?μ???为等比数列?． ＝λ?an－1＋构造新数列?an＋??λ－1??λ－1?λ－1???
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1
＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
[解析] 因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，故{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝3，所以an＝3－1.
nnSn＝a1＋a2＋…＋an＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3n－1)＝(31＋32＋…＋3n)－n＝
－1－3
3n＋1－3－n＝－n，
2
3n＋1－33n＋1－2n－3
所以Sn＝－n＝. 223n＋1－2n－3
[答案]
2
【典题2】 (考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项2an
和，且满足＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．
anSn－S2n
2an
[解] 由已知，当n≥2时，＝1，
anSn－S2n所以即
－Sn－
＝1，
－Sn－－S2n－Sn－－Sn－1Sn
111
＝1，所以－＝.
SnSn－12
又S1＝a1＝1，
?1?1
所以数列??是首项为1，公差为的等差数列，
2?Sn?
11n＋1
所以＝1＋(n－1)＝，
Sn222即Sn＝.
n＋1
22
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n＋1n1，n＝1，??
因此an＝?2
－，n≥2.??n＋[类题通法]
给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝ann转化为an2
＋
.
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
提醒：在利用an＝Sn－Sn－1n求通项公式时，务必验证n＝1时的情形
■对点即时训练………………………………………………………………………· 1．已知数列{an}满足an＋1＝A．－1 C．1
11
，若a1＝，则a2 018＝( ) 1－an2
1
B． 2D．2
111111
D [由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5
21－an1－a11－a21－a32
1＝＝2，…， 1－a4
1
于是归纳可得a3n－2＝，a3n－1＝2，a3n＝－1，因此a2 018＝a3×672＋2＝2.故选D.]
22．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2 ，则Sn＝__________.
nn·2n(n∈N*) [由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)
?Sn?SnSn－1Snn－2，即－＝1，所以数列??是首项为1，公差为1的等差数列，则＝n，
2n2n－12n?2n?
Sn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)．]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1、T2、T3、T4、T5、T7、T8、T10、T11、T12)
题型2 裂项相消法求和(答题模板)
(对应学生用书第12页)
裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方
?1??1?
?或??(其中{an}为等差数列)等形式的数列求法，主要适用于?
?anan＋1??anan＋2?
和．(2017·全国Ⅱ卷T15、2015·全国Ⅰ卷T17、2015·全国Ⅱ卷T16) ■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，
a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式；
1②
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.
anan＋1
【导学号：07804027】
[审题指导]
题眼 ① 挖掘关键信息 ①
看到a2n＋2an＝4Sn＋3，想到a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，两式作差，求{an}.② 1看到bn＝，anan＋1想到先求bn，想到能否裂项.③
[规范解答] (1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.1分 两式相减可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，2分 即
＋1＋
＝a2n＋1－a2n＝
＋1＋
＋1－
.
④
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