(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望． 【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”，则
C12C2344
(1)P(A)＝2＝，P(B)＝3＝，(2分)
C55C553?42?
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×?1－?＝.(5分)
5?255?C215
(2)P(C)＝3＝，(6分)
C62X可能的取值为0，1，2，3，
2??3??1?3213?－－1－1－1－?×??×??＝××＝， P(X＝0)＝P(A B C)＝?
5??5??2?55225?
22133132119
P(X＝1)＝P(A －B －C)＋P(A BC)＋P(A －B C)＝××＋××＋××＝，
5525525525023122133119
P(X＝2)＝P(A B C)＋P(AB C)＋P(A B C)＝××＋××＋××＝，
552552552502313
P(X＝3)＝P(A B C)＝××＝.(10分)
55225所以X的分布列为： X P 0 3 251 19 502 19 503 3 253191933
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
255050252
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D(0，2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|＝3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之3
积为－，求→OA·→OB的取值范围．
2
9 / 15
xy
【解析】(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)．(1分)
ab2??4c
因为D(0，2)为椭圆短轴的一个端点，则b＝2.因为|DF|＝3|EF|，则点E?，－?.(3
3??3分)
16c21
因为点E在椭圆上，则2＋＝1，即a2＝2c2.(4分)
9a9
x2y2
又c＝a－4，则a＝2(a－4)，得a＝8，所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (5
84
2
2
2
2
2
22
分)
(2)解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 4km2m2－8
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. (6分)
2k＋12k＋1
3y1y23
因为kOA·kOB＝－，则·＝－，即3x1x2＋2y1y2＝0，即3x1x2＋2(kx1＋m)(kx2＋
2x1x22m)＝0，
2m2－88k2m2
即(2k＋3)x1x2＋2km(x1＋x2)＋2m＝0，所以(2k＋3)·2－2＋2m2＝0，
2k＋12k＋1
2
2
2
即(2k2＋3)(m2－4)－4k2m2＋m2(2k2＋1)＝0，化简得m2＝2k2＋3.(7分) 1m2－42k2－12→→
所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－x1x2＝－2＝－2＝2－1.(8分)
22k＋12k＋12k＋1因为Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(8k2＋4－m2)＝8(6k2＋1)>0，k2≥0，则0<
2
≤2， 2k＋1
2
→·→
所以－1 12又x1x2≠0，则m2≠4，即k2≠，则2≠1，所以→OA·→OB≠0.(10分) 22k＋1当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，则kOA＝－kOB. 10 / 15 366xy 因为kOAkOB＝－，不妨设kOA>0，则kOA＝.联立y＝x与＋＝1，得点A(2， 222843)，B(2，－3)，或点A(－2，3)，B(－2，－3)，此时→OA·→OB＝－1. 综上分析，→OA·→OB的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．(12分) 33 解法二：因为kOA·kOB＝－<0，设kOA＝k≠0，则kOB＝－.(6分) 22ky1y233 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝－，即y1y2＝－x1x2， x1x2221→→ 所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－x1x2.(7分) 2 22 ?y＝kx，8由?xy得x＋2kx＝8，即(2k＋1)x＝8，所以x＝.(8分) 2k＋1 ?8＋4＝1， 2 2 2 22 2 2 21 2 同理，x22＝ 8 ?3?2 2?－?＋1?2k? 16k2＝2.(9分) 2k＋9 22 8×16k8×16k2 所以x2＝＝1x2＝ （2k2＋1）（2k2＋9）4k4＋20k2＋9 8×16 .(10分) 92 4k＋2＋20 k 9 因为4k2＋2≥2 k≤4， 9962 4k2·2＝12，当且仅当4k2＝2，即k＝±时取等号，则0 kk2 即－2≤x1x2≤2，且x1x2≠0，所以→OA·→OB的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．(12分) 21．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝ln x－kx，其中k∈R为常数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x1 【解析】(1)f′(x)＝－k＝(x>0)，(1分) xx 11 / 15 ①当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2分) 1?1? ②当k>0时，由f′(x)>0，得0 k?k??1? ?，＋∞?上单调递减．(5分) ?k? (2)因为x1，x2是f(x)的两个零点，则ln x2－kx2＝0，ln x1－kx1＝0， 所以ln x2－ln x1＝k(x2－x1)，ln x1＋ln x2＝k(x1＋x2)．(7分) 要证ln x2>2－ln x1，只要证ln x1＋ln x2>2，即证k(x1＋x2)>2， 即证 ln x2－ln x12（x2－x1） (x2＋x1)>2，即证ln x2－ln x1>，只要证 x2－x1x2＋x1 x22（x2－x1） ln>. x1x2＋x1 x22（t－1）设t＝(t>1)，则只要证ln t>(t>1)．(10分) x1t＋1 2（t－1）（t－1）2 设g(t)＝ln t－，则g′(t)＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上单 t＋1t（t＋1）2 调递增． 所以g(t)>g(1)＝0，即ln t>分) (二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 ?x＝1＋cos α， 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?(α为参数). ?y＝sin α以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)设动直线l：y＝kx(x≠0，k≠0)分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值． 【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入， 得ρ2－2ρcos θ＝0，所以曲线C1的极坐标方程是ρ＝2cos θ.(3分) 12 / 15 2（t－1） ，所以ln x1＋ln x2>2，即ln x2>2－ln x1.(12 t＋1
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