变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果． 1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向． 2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值． 四、圆周运动解题思路 1．灵活、正确地运用公式
ΣFn＝man=mv2/r＝mω2r＝m4π2r/T2＝m4π2fr ； 2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．
规律方法
1.线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r成反比． 【例1】对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是 (A)A轮带动B轮沿逆时针方向旋转． (B)B轮带动A轮沿逆时针方向旋转． (C)C轮带动D轮沿顺时针方向旋转． (D)D轮带动C轮沿顺时针方向旋转． 答案：BD
【例2】如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的情况是（ ）
A．vA=vB，vB＞vC； B．ωA=ωB，vB = vC C．vA ＝vB，ωB＝ωc ；D．ωA＞ωB ，vB ＝vC
解析：A、B两点在轮子边缘上，它们的线速度等于皮带上各点的线速度，所以vA=vB；B、C两点在同一轮上，所以ωB＝ωc，由V=ωr知vB＞vC，ωA＞ωB ． 答案：AC 【例3】如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时间小于半个周期，在筒上
先、后留下a、b两个弹孔，已知ao、bo间夹角为φ弧度，则子弹速度为
解析：子弹在a处进入筒后，沿直径匀速直线运动，经t=d/v时间打在圆筒上，在t时间内，圆筒转过的角度θ＝ωt=π－φ，则d/v=（π－φ）/ω，v=dω/（π－φ）答案：dω/（π－φ） 2．向心力的认识和来源 （1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速
度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O/点，不在球心O，也不在弹力N所指的PO线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．
②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
v(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜m时，物体做离心运动；当
r2v物体所受的合外力大于所需要的向心力，即F向＞m时，物体做向心运动。
r2【例4】飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑机，第一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑缺血，问（1）血压为什么会降低？（2）血液在人体循环中。作用是什么？（3）为了使飞行这种情况，要在如图的仪器飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受的加速度 a= 6g，则转速需为多少？（R＝20m）。 【解析】：（1）当飞行员往上加速上升，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运输血液，导致血压降低。
（2）血液在循环中所起作用为提供氧气、营养，带走代谢所产生的废物。 （3）由a向=v/R可得 v=a向R＝=34．29（m/s）
3、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
【例5】如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（） A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c处一条与S缝平行的窄条上
B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上 C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和C处与S缝平行的窄条上
D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒 解：微粒从M到N运动时间t=R/v,对应N筒转过角度θ=ωt=ωR/v, 即θ1=ωt=ωR/v1, θ2=ωt=ωR/v2, 只要θ1、θ2不是相差2π的整数倍，则落在两处，C项正确；若相差2π的整数倍，则落在一处，可能是a处，也可能是b处。A,B正确。故正确选项为ABC.
【例6】如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω1沿半径为a的圆周做匀速圆周运动。所有摩擦均不考虑。 求：
（1)这时细线上的张力多大？
(2)若突然松开手中的细线，经时间Δt再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动。试问：Δt等于多大？这时的角速度ω2为多大？
分析：手松后，小球不受力，将做匀速直线运动，求时间必须明确位移。正确画出松手后
2
到再拉紧期间小球的运动情况是解题的关键。求Wz要考虑到速度的分解：小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进行，画出速度分解图，可求得半径为b的圆周运动的速度，进而求出ω2。
2
解：（1)绳的张力提供向心力：T=mω1a
a b (2)松手后小球由半径为a圆周运动到半径为b的圆周上，做的是匀速O VSb2?a2直线运动（如图所示）。?t?? V?1av
小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳的切向和垂直aa切向的两个运动同时进行，有v2＝vsinθ＝va/b，即b??a? ????
bb221212【例7】如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，
OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求： （1）小球则运动到B点时，对轨道的压力多大？ （2）小球落地点C与B点水平距离S为多少？ （3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点水平距离S最远？该水平距离最大值是多少？
2
解析：（1）小球沿圆弧做圆周运动，在B点由牛顿第二定律有NB－mg=mv/R ①
2
由A至B，机械能守恒，故有mgR=?mv② 由此解出NB=3mg
2
（2）小球离B点后做平抛运动： 在竖立方向有：H－R=?gt③ 水平方向有：S＝vt ④
由②③④解出：s=4R?H?R? ⑤ （3）由⑤式得s＝H2??2R?H?2 ⑥ 由⑥式可知当R=H/2时，s有最大值，且为smax=H 答案：NB=3mg，s＝H2??2R?H?2，smax=H
点评：对于比较复杂的问题，一定要注意分清物理过程，而分析物理过程的前提是通过分析物体的受力情况进行． 4、圆周运动中实例分析
【例8】如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B,女运动员的质量为m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r,求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度
解析:依圆锥摆原理,男运动员对女运动员的拉力F=mg/cosθ,女
运动员做圆周运动的向心力F向=mgtanθ,则由动力学方程得mgtanθ=mωr,得??2
gtan? r【例9】如图所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置的示意图,A为光源,B为电接收器,A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮．车轮转动
时,A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示．若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N, 则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ；车速度的表达式为v= ；行程的表达式为s=
解析：由题可知，每经过一个间隙，转化成一个脉冲信号被接收到，每个间隙转动的时间t=1/n。
设一周有P个齿轮，则有P个间隙，周期T=Pt=P/n。据v=2πR/T=2πnR/P， 所以必须测量车轮的半径R和齿数P，当肪冲总数为N，则经过的时间t0=Nt=N/n. 所以位移s?vt?2?RN0P
【例10】若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29．5 天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期）。（提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法）。 【解析】用物理角速度、线速度原理解答，
地球绕太阳公转每天的角速度ω=2π/365（取回归年365天）。从上次满月到下次满月地球公转了θ角，用了29．5天。 所以，θ＝ω〃29．5=2π/365×29．5（天）。
月球在两满月之间转过（2π＋θ），用了29．5天，所以月球每天的角速度ω= 根据周期公式T=2π/ω（即月球360除以每天角速度所花的时间）得： T＝2π/
2??29?52???，因为θ=2π/365×29．5 所以T=27.3天
2?29?52??365?29?5/
0
/
2??? 29?5【例11】如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，已知绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度v2=7gL落到墙脚边．求（1）绳断裂瞬间的速度v1；（2）圆柱形房屋的高度H和半径．
【解析】绳断裂前小球作圆锥摆运动，绳断裂后小球沿切线方向作平抛运动，直到落地，小球作平抛运动的过程满足机械能守恒定律． （l）小球在绳断前瞬时受力如图所示
mg10
由于Tm＝2mg，cosθ==，θ=60
Tm22F合＝mgtan60＝mv1/r，r=Lsinθ解得v1=3gL/2
0
（2）小球从抛出到落地，根据机械能守恒定律?mv1＋mgh1=?mv2
22v2?v111式中h1为绳断裂时小球距地面的高度，由上式解得h1==L
2g40
22
设绳断裂时小球距天花板的高度为h2，则h2=Lcos60=L
故房屋高度H=h1＋h2=13 L/4
（3）绳断裂后小球沿圆周的切线方向作平抛运动，设小球由平抛至落地的水平射程为x，
R x r 如图所示．x=v1t，h1=gt/2， R=r2?x2 解得R=3L
2
【例12】如图（a）所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连．已知有一质量为m0的子弹B沿水平方向以速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕C点在竖直面内做圆周运动，在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图(b)所示．已知子弹射入的时间极短，且图（b）中t＝0为A、B开始以相同速度运动的时刻，根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？
解析:由图可直接看出，A,B一起做周期性运动，运动的周期T＝2t0, 令m表示A的质量，L表示绳长，v1表示F B陷入A内时即t=0时A,B的速度（即圆周运
F动最低点的速度）,v2表示运动到最高点时的
C 速度，Fl表示运动到最低点时绳的拉力，F2表示运动到最高点时绳的拉力，根据动量守恒定律，得m0v0＝（m0＋m)v1， B t0 3t5tA 在最低点和最高点处运用牛顿定律可用 vFl一(m＋m0)g=(m＋m0)；F2＋(m＋m0)g＝(m
l21v＋m0)
l22根据机械能守恒定律可得
22
2L(m＋m0)g=?(m＋m0)v1－?(m＋m0)v2；由图可知F2=0; F1=Fm
36m02v02Fm?m0……①;l?由以上各式可解得，反映系统性质的物理量是m?……②
5Fm2g6gA,B一起运动过程中的守恒量是机械能E，若以最低点为势能的零点，则E＝?(m＋m0) v1……
③
3m02v02g 由①②③式解得E?Fm2
试题展示
1.在地球上，赤道附近的物体A和北京附近的物体B，随地球的自转而做匀速圆周运
.动可以判断
D
A．物体A与物体B的向心力都指向地心
B．物体A的线速度的大小小于物体B的线速度的大小 C．物体A的角速度的大小大于物体B的角速度的大小
D．物体A的向心加速度的大小大于物体B的向心加速度的大小
2.下列关于离心现象的说法正确的是 C A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动 C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动 D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做曲线运动
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