2018-2019学年江苏省徐州市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年江苏省徐州市高二下学期期末数学（理）试题

一、填空题

1．若复数z满足方程1?iz?3i，其中i为虚数单位，则z?________. 【答案】2

【解析】设z?a?bi,a,b?R，利用复数的乘法运算计算得到a,b即可. 【详解】

由已知，设z?a?bi,a,b?R，则1?iz?1?i(a?bi)?1?b?ai?3i，

?1?b?0?所以?，解得a?3,b?1，故z?3?i，z?(3)2?12?2.

??a?3故答案为：2. 【点睛】

本题考查复数的乘法、复数模的运算，涉及到复数相等的概念，是一道容易题. 2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a?3b”时，假设的内容应为_____． 【答案】3a?3b或3a?3b 【解析】假设的内容应是否定结论，由3a?3b否定后为3a?3b. 3．?1?2x?的二项展开式中含x2的项的系数是________. 【答案】60

【解析】Tr?1?2C6x，令r=2即可. 【详解】

r 二项式展开式的通项为Tr?1?C6?2x??2rC6rxr，令r=2，得T3?2C6x?60x，

2222rrr6r故x2的项的系数是60. 故答案为：60 【点睛】

本题考查求二项展开式中的特定项的系数问题，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

4．现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为________.

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【答案】

3 10【解析】利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】

从10件产品中任取3件共有C10种不同取法，其中恰有1件一等品共有C6C4种不同取法，

由古典概型的概率计算公式知，从中随机选出3件产品，恰有1件一等品的概率为

2C136C4?. 3C1010312故答案为：【点睛】

3 10本题考查古典概型的概率计算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 5．在极坐标系中，点A?4,【答案】3

【解析】将A和直线化成直角坐标系下点和方程，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】

由已知，在直角坐标系下，A(22,22)，直线方程为x?y?2?0，

????????sin??到直线???1的距离为________. ?4?4??所以A到直线x?y?2?0的距离为故答案为：3 【点睛】

|22?22?2|1?122?3.

本题考查极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 6．已知矩阵A???12???10?B?，，则矩阵A?1B?________. ????02??06???1?2?【答案】??

03??【解析】先求出A?1，再与矩阵B相乘即可. 【详解】

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??10???1?2??1?1??A?AB?由已知，1，所以?03?. ?0???2????1?2?故答案为：??

03??【点睛】

本题考查矩阵的乘法运算，涉及到可逆矩阵的求法，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

7．对于大于1的自然数n的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23?3?5，

33?7?9?11，43?13?15?17?19，…，仿此，若n3的“分裂数”中有一个是49，

则n的值为________. 【答案】7

【解析】n每增加1，则分裂的个数也增加1个，易得49是从3开始的第24个奇数，利用等差数列求和公式即可得到. 【详解】

从23到n3共用去奇数个数为2?3?L?n?个奇

数，当n?6时，从23到63共用去奇数个数为20个，当n?7时，从23到73共用去奇数个

数为27个，所以n?7. 故答案为：7 【点睛】

本题考查新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，考查学生的归纳推理能力，是一道中档题.

(n?1)(n?2)，而49是从3开始的第24

2x2y28．已知P?x,y?为椭圆??1上的任意一点，则23x?y?1的最大值为

416________. 【答案】9

【解析】设x?2cos?,y?4sin?，代入23x?y?1并利用辅助角公式运算即可得到最值. 【详解】

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由已知，设x?2cos?,y?4sin?，则23x?y?1?43cos??4sin??1

?8sin(??)?1?[?9,7]，故23x?y?1?8sin(??)?1?[0,9].

33当????7?时，取得最大值9. 6故答案为：9 【点睛】

本题考查利用椭圆的参数方程求函数的最值问题，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

9．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答） 【答案】24

【解析】甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有2A2种排法，丙、丁不排在

22A32?24种． 一起，用插空法，有A3种排法，所以共有2A2·2【考点】排列组合公式.

10．一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若E?X??值为________. 【答案】14

【解析】利用E?X??np计算即可. 【详解】

由题意，知X:B(5,故答案为：14 【点睛】

本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题. 11．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）

7，则m的2m5m7)，则E?X???，解得m=14. m?6m?62

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【答案】20

【解析】分两步：第一步先计算从A到B的走法种数，第二步：再计算从B到C走法种数，相乘即可. 【详解】

A到B共2种走法，从B到C共C5种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C

2地，最近的走法共有2C5?20种.

2故答案为：20 【点睛】

本题考查分步乘法原理及简单的计数问题的应用，考查学生的逻辑分析能力，是一道中档题. 12．设?1?2x?2019?a0?a1?x?8??a2?x?8??L?a2019?x?8?220192019，则

???1?k?0kak除以8所得的余数为________. 【答案】7

2019【解析】令x?7可得【详解】

???1?k?0kak?152019，再将152019?(16?1)2019展开分析即可.

由已知，令x?7，得15又15201920192019?a0?a1?a2?L?a2019????1?k?0kak，

12018?(16?1)2019?162019?C2019162018?L?C201916?1

1?16(162018?C2019162017?L?2019)?1 1?8[2(162018?C2019162017?L?2019)?1]?7.

2019所以

???1?k?0kak除以8所得的余数为7.

故答案为：7 【点睛】

本题考查二项式定理的综合应用，涉及到余数问题，做此类题一定要合理构造二项式，并展开进行分析判断，是一道中档题. 13．已知函数y?111的图象的对称中心为?0,0?，函数y??的图象的对称中心xxx?1第 5 页 共 14 页

111?1??为??,0?，函数y??的图象的对称中心为??1,0?.由此推测，函数

xx?1x?2?2?y?x?1x?2x?2020??L?的图象的对称中心为________. xx?1x?2019?2019?,2020? 2??【答案】??111n??L?的对称中心为(?,0)，再由xx?1x?n2x?1x?2x?2020111??L??2020???L?函数平移可得y?xx?1x?2019xx?1x?2019【解析】由已知可归纳推测出y?的对称中心. 【详解】

由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0,?,?1,L，即0,?1212,?,L 22111n??L?的对称中心为(?,0). xx?1x?n2x?1x?2x?2020111??L??2020???L? 又y?xx?1x?2019xx?1x?2019由此推测y?所以其对称中心为???2019?,2020?. 2??故答案为：??【点睛】

?2019?,2020? 2??本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题.

14．在数列1，2，3，4，5，6中，任取k个元素位置保持不动，将其余6?k个元素变动位置，得到不同的新数列，记不同新数列的个数为P?k?，则________. 【答案】720

【解析】根据题意，只需分别计算出P?k?,k?{1,2,3,4,5,6}即可. 【详解】

?kP?k?的值为

k?06?kP?k??P(1)?2P(2)?3P(3)?4P(4)?5P(5)?6P(6)

k?011111131?C6?C4?(C2?C3?3)?2?C62?C3?C3?3?C6?C2?4C64?0?6?1

6?720

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故答案为：720 【点睛】

本题考查排列与组合的应用以及组合数的计算，考查学生的逻辑思想，是一道中档题.

二、解答题

15．现有9名学生，其中女生4名，男生5名.

（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1）26；（2）60；（3）2184 【解析】（1）采用间接法； （2）采用直接法；

（3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不同岗位即可. 【详解】

2（1）从中选2名代表，没有女生的选法有C5?10种，

22所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有C9?C5?26种.

22（2）从中选出男、女各2名的不同选法有C5C4?60种.

44（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有C9?C7?91种，

4将这4人安排到四个不同的岗位共有A4?24种方法，

故共有C9?C7A4?2184种安排方法. 【点睛】

本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题.

?44?4?a1?16．已知a，b?R，点P?1,?1?在矩阵A???对应的变换下得到点Q?1,3?.

3b??（1）求a，b的值；

（2）求矩阵A的特征值和特征向量；

ur?5?4（3）若向量????，求A?.

?9?ur第 7 页 共 14 页

【答案】（1）??1??a?22A3；（）矩阵的特征值为?1，，分别对应的一个特征值为??，

b?0???3??485??1?3；（）?489? ?1?????【解析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；

uruuruuruuruuruur4444（3）先计算出????1?6?2，再利用A??A??1?6?2??A?1?6A?2计算

uruur??即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，??a1??1??a?1??1??????， ?????3b???1??3?b??3??a?1?1?a?2. 则?，解得?3?b?3b?0??（2）由（1）知A????2?1?21?f???????2??3，A ，矩阵的特征多项式????3??30?令f?λ??0，得到A的特征值为?1??1，?1?3.

????2?x?y?0???1将1代入方程组?，解得y??3x，

??3x??y?0所以矩阵A的属于特征值?1的一个特征向量为?1??uur?1?. ???3?????2?x?y?0再将?1?3代入方程组?，解得y?x，

??3x??y?0所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为?2???.

uur?1??1??1??1?综上，矩阵A的特征值为?1，3，分别对应的一个特征值为??，??.

??3??1?（3）设??m?1?n?2，即???m?uruuruur?5??9??1??1??m?n??n??， ??????3??1???3m?n?uruuruur?m?n?5?m??1所以?，解得?，所以????1?6?2，

?3m?n?9n?6??uruuruuruuruur4444所以A??A??1?6?2??A?1?6A?2

??第 8 页 共 14 页

?1??485?4?1?????1????6?34????. ???3??1??489?【点睛】

本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

??x??17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y???5t?15（t为参数），以原

25t5点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

??2cos??4sin?.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长.

22【答案】（1）x?y?2x?4y，?x?1???y?2??5；（2）

222105 5【解析】（1）利用参数方程与普通方程、普通方程与极坐标方程的互化公式即可； （2）利用垂径定理与勾股定理即可得到答案. 【详解】

（1）直线l的普通方程为y?2x?2，

22曲线C即?2?2?cos??4?sin?，所以x?y?2x?4y，

故曲线C的直角坐标方程为?x?1???y?2??5. （2）因为曲线C是以?1,?2?为圆心，5为半径的圆，

222105?2?1+2?2?. 所以线段AB的长为25????55??【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及圆中的弦长问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

21??*18．已知二项式?3x?. n?N???32x??（1）当n?5时，求二项展开式中各项系数和；

（2）若二项展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，且存在常数项，

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n①求n的值；

②记二项展开式中第r?1项的系数为ar，求

?rar?0nr.

【答案】（1）

71 ；（2）①14，②?328192【解析】（1）令x?1即可；

（2）①2Cn?Cn?Cn?n?14或n?23，再分别讨论是否符合题意；②rC?14C【详解】

（1）当n?5时，

r14r?113，

9810rar??7Cr?113?1?，再利用二项式定理逆用计算即可. ????2?r?111??. 令x?1，得二项式?3x?的展开式中各项系数和为?3322x??9810（2）①由题意知，2Cn?Cn?Cn，

5即2?n!n!n!211????， ，即

9!?n?9?!8!?n?8?!10!?n?10?!9?n?9??n?8??n?9?90即n2?37n?322?0，解得n?14或n?23. 当n?14时，T8??17C14，是常数项，符合题意； 72r2r231?r23???N，不符合题意. 当n?23时，若Tr?1????C23x3是常数项，则r?2?2?故n的值为14.

?1?r，所以?1?r②由①知，n?14，则ar????C14. rar????rC14?2??2?r因为rC14?r?rr14!13!r?1?14??14C13，

r!?14?r?!?r?1?!?14?r?!rr?11??1?r?1r?1?所以rar????14C13??7C13???. ?2??2?所以

?rar?0nr??7?Cr?114r?113?1?????2?r?177?1?. ??7?1????13??28192?2?13【点睛】

本题考查二项式定理的综合应用，涉及到各项系数和、等差数列、组合数的计算，考查

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学生的计算能力，是一道中档题

19．“蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为

11，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试43验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败.

（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；

（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；

（3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望E?X?. 【答案】（1）

7532；（2）；（3）分布列见解析，.

729632【解析】（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；

（2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败

2共有A4?12种情况；

（3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望. 【详解】

（1）记至少两次试验成功为事件A，

352?1?3?1?则P?A??C3， ??C?3?????4?4?4?32答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为

235. 32（2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，

2其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有A4?12种情况.

记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B，

?1??2?132，

则P?B??12???????3??3?3729答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为（3）X的所有可能取值为0，1，2，3，4.

3332. 729361?3??2?P?X?0????????，

?4??3?1444第 11 页 共 14 页

2213?2??3?1260511P?X?1??C2?????????C2????，

44?3??4?3314412312?3??1?37?1??2?111， P?X?2???????C2??C2????????4433?4??3?144?4??3?1213?1?105?1?11， P?X?3?????C2???C2???????3344?3?14472?4?222222221?1??1?， P?X?4????????4??3?144所以X的概率分布为： X P

数学期望E?X??0?【点睛】

本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

20．对任意正整数n，设an表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，Sn表示数列?an?的前n项和.

（1）求a1，a2，a3，a4，a5的值； （2）是否存在常数s，t，使得S0 1 2 3 4 221 45 1237 1445 721 1443660371017?1??2??3??4??. 14414414414414462m?12??m?s??t?2m?4?6对一切m?1且m?N*恒成

立？若存在，求出s，t的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）a1?1，a2?1，a3?2，a4?1，a5?3；（2）?【解析】（1）根据定义计算即可；

（2）先由S21?1?S1?1，S22?1?S3?4，S23?1?S7?14确定出s，t的值，再利用数学归纳法证明.

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?s??1，见解析.

?t?1【详解】

（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以a1?1， 2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以a2?1， 3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以a3?2， 4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以a4?1， 5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以a5?3.

（2）由（1）知，S21?1?S1?1，S22?1?S3?4，S23?1?S7?14，

??2?s??2t?4??1?6???4?s??4t?4??s??1?4，解得?. 所以?6?t?1???8?s??8t?4??14?6?下面用数学归纳法证明： ①当m?1时，S1?2?1?2?1??2?4??1，成立；

6*②假设当m?k（k31，k?N）时，结论成立，即Sk2?1那么当m?k?1时， 易知当n为奇数时，an?2??k?1??2k?4?6，

1?na?an.

；当n为偶数时，n22所以S2k?1?1?a1?a2?L?a2k?1?1?a1?a3?L?a2k?1?1?a2?a4?L?a2k?1?2

??????1?2?L?2k???a1?a2?L?a2k?1? ??1?2?L?2k??S2k?1

?2k?1?2k?2?S2k?1

?3?2k?1?2k???2k?1??2k?4?6k?12?2???3?2k?1?46

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?2?k?1?1??2k?1?4?6.

所以当m?k?1时，结论成立. 综合①②可知，S【点睛】

本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，2?1m2??m?1??2m?4?6对一切m?1且m?N*恒成立.

是一道有一定难度的题.

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