3．假定某企业的短期成本函数是TC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q＋66： （1）指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分； （2）写出下列相应的函数： TVC（Q）、AC（Q）、AVC（Q）、AFC（Q）和MC（Q）。 解：（1）在短期成本函数TC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q＋66中，可变成本部分为TVC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q；不变成本部分为AFC（Q）＝66
（2）根据已知条件和（1），可以得到以下相应的各类短期成本函数： TVC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q
AC（Q）＝AVC（Q）＝AFC（Q）MC（Q）
＝Q2－5Q＋15＋Q＝Q2－5Q＋15
＝3Q2－10Q＋15
66
4．已知某企业的短期总成本函数是STC（Ｑ）＝ 0.04Ｑ3－0.8Ｑ2＋10Ｑ＋5，求最小的平均可变成本值。
解：据题意，可知AVC（Ｑ）
＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10
＝0。
因为，当平均可变成本AVC函数达到最小值时，一定有故令
＝0，有
解得：Ｑ＝10
将Ｑ＝10代入平均可变成本函数AVC（Q）＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10，解得：AVC（Q）min＝6
也就是说，当产量Ｑ＝10时，平均可变成本AVC（Ｑ）达到最小值，其最小值为6。
5．假定某厂商的边际成本函数MC＝3Ｑ2－30Ｑ + 100，且生产10单位产量时的总成本为l 000。
求：（1）固定成本的值。
（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解：（1）根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC=3Q2-30Q+100积分可得总成本函数，即有：
总成本函数
又因为根据题意有Ｑ＝10时的TC＝1 000，所以有：
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又由于，所以当Ｑ＝10时，AVC（Q）达到最小值。
TC＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000 解得：α＝500
所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本为：TFC＝α＝500.
（2）由（1），可得： 总成本函数：总可变成本函数：平均成本函数：平均可变成本函数：
26．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C＝2Ｑ1＋Ｑ22－Ｑ1
Ｑ2，其中Ｑ1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。 求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。
解:此题可以用两种方法来求解。 （1）第一种方法：
当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC1＝MC2,才能实现成本最小的产量组合。
根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：
第二个工厂的边际成本函数为：
于是，根据MC1＝MC2原则，得：
2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1 －Ｑ2
解得：Ｑ1＝0.6Ｑ2 （ 1）又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：
0.6Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40
解得：Ｑ2*＝25 将其代入（1），解得：Q1*＝15
（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。
2 C＝2Ｑ1＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2
MC1 ＝4Ｑ1－Ｑ2
MC2 ＝2Ｑ2－Ｑ1
s.t. Ｑ1＋Ｑ2 ＝40
将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：
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由前两个式子可得：
4Ｑ1 －Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1 即：Ｑ1＝0.6Ｑ2
将Ｑ1＝0.6Ｑ2代入第三个式子，得：
40－0.6Ｑ2－Ｑ2＝0 解得：Ｑ2*＝25
再由Ｑ1＝0.6Ｑ2，得：Ｑ1*＝15
7．已知生产函数Ｑ＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定厂商处于短期生产，且K＝16。
推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。
解:由于是短期生产,且K＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PA A＋PL L＋PK K可以写成：
C＝1×A＋1×L＋32C＝A＋L＋32 生产函数可以写成：
Ｑ＝A1/4L1/4（16）1/2＝4A1/4L1/4
而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下：
A＋L＋32
s.t. A1/4L1/4＝Ｑ （其中，Ｑ为常数）
将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：
由前两个式子可得：
即：L＝A
将L＝A代入约束条件即第三个式子，得：
Ｑ－A1/4L1/4＝0
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解得：A*＝且：L*＝
于是，有短期生产的各类成本函数如下： 总成本函数TC（Ｑ）＝A + L + 32 ＝平均成本函数AC（Ｑ）＝总可变成本函数TVC（Ｑ）＝平均可变成本函数AVC（Ｑ）＝边际成本函数MC（Ｑ）＝
8．已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为 500；劳动的价格PL＝5。求：
（1）劳动的投入函数L＝L（Q）。
（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。 （3）当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解：（1）已知K＝50时，其总价格为500，所以PK?10 对于生产函数Q＝0.5L1/3K2/3
2/31/3可求出：MPL?（），MPK?（）
1K6L1L3K由
PLMPL?，可得：K?L PKMPK代入生产函数，得：Q?0.5L，即L?2Q （2）将L＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K 可得：总成本函数TC?LPL?KPK?10Q?500 平均成本函数AC?10?500/Q
边际成本函数MC?10
（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：K?L 因为K＝50，所以：L＝50 代入生产函数有：得：Q＝25
此时利润为：??PQ?TC?PQ?(PL?L?PK?K)?2500?750?1750 9、假定某厂商短期生产的边际成本函数SMC（Q）＝3Q2－8Q＋100，且已知当产量Q＝10时的总成本STC＝2 400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。
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解：由边际成本函数SMC（Q）＝3Q2－8Q＋100积分得： 总成本函数STC＝Q3－4Q2＋100Q+a
又因为当产量Q＝10时的总成本STC＝2 400，即： 2400＝103－4×102+100×10+a 解得：a＝800
所求总成本函数STC＝Q3－4Q2＋100Q+800 平均成本函数SAC?STC800 ?Q2?4Q?100?CQ可变成本函数SVC＝Q3－4Q2＋100Q 平均成本函数AVC?SVC?Q2?4Q?100 C10．试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线，并说明长期总成本曲线的经济含义。
答：（1）长期总成本曲线的推导。
长期总成本LTC是指厂商在长期中在每一个产量水平上通过选择最优的生产规模所能达到的最低总成本。相应地，长期总成本函数写成以下形式：
LTC＝LTC（Q）
根据对长期总成本函数的规定，可以由短期总成本曲线出发，推导长期总成本曲线。
在图5-7中，有三条短期总成本曲线STC1、STC2和STC3，它们分别代表三个不同的生产规模。由于短期总成本曲线的纵截距表示相应的总不变成本TFC的数量，因此，从图中三条短期总成本曲线的纵截距可知，STC1曲线所表示的总不变成本小于STC2曲线，STC2曲线所表示的总不变成本又小于STC3曲线，而总不变成本的多少（如厂房、机器设备等）往往表示生产规模的大小。因此，从三条短期总成本曲线所代表的生产规模看，STC1曲线最小，STC2曲线居中，STC3曲线最大。
图5-7 长期总成本曲线的推导
假定厂商生产的产量为Q2，在短期内，厂商可能面临STC1曲线所代表的过小的生产规模或STC3曲线所代表的过大的生产规模，于是，厂商只能按较高的总成本来生产产量Q2，即在STC1曲线上的d点或STC3曲线上的e点进行生产。但在长期，情况就会发生变化。厂商在长期可以变动全部的要素投入量，选择最优的生产规模，于是，厂商必然会选择STC2曲线所代表的生产规模进行生产，从而将总成本降低到所能达到的最低水平，即厂商是在STC2曲线上的b点进行生产。类似地，在长期内，厂商会选择STC1曲线所代表的生产规模，在a点上
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