所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
课下层级训练(六十) 参数方程
[A级 基础强化训练]
???x＝2＋t，?x＝3cos α，
1．求直线?(t为参数)与曲线?(α为参数)的交点个数．
?y＝－1－t?y＝3sin α??
??x＝2＋t，
解 将?消去参数t得直线x＋y－1＝0；
?y＝－1－t???x＝3cos α，将?消去参数α，得圆x2＋y2＝9． ?y＝3sin α?
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝2
＜3． 2
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
??x＝cos θ，
2．已知P为半圆C：?(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O
?y＝sin θ?
π
为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．
3
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标； (2)求直线AM的参数方程． π
解 (1)由已知，点M的极角为，
3π
且点M的极径等于，
3ππ?
故点M的极坐标为??3，3?．
π3π?(2)由(1)知点M的直角坐标为?，，A(1,0)．
?66??
故直线AM的参数方程为?
?y＝
π?x＝1＋??6－1?t，
3π
t6
(t为参数)．
??x＝2＋t，x2y2
3．(2018·湖北武汉二模)已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．
49??y＝2－2t
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
??x＝2cos θ，
解 (1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)．
y＝3sin θ，??
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0．
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝5
|4cos θ＋3sin θ－6|． 5
d25
＝|5sin(θ＋α)－6|， sin 30°5
则|PA|＝
4
其中α为锐角，且tan α＝．
3
225
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为．
525
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．
5
??x＝tcos α，
4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以
?y＝tsin α?
O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ．
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0， 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0．
22??x＋y－2y＝0，
联立?
22??x＋y－23x＝0，
??x＝0，解得?
??y＝0
?x＝23，
或?3
y＝?2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
33?
．
?2， 2?
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π． 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)． π
所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4|sin(α－)|．
3
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
5π
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4．
6
[B级 能力提升训练]
5．(2019·江西南昌模拟)以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
?x＝2cos t，已知曲线C的参数方程为?(t为参数)．
?y＝2sin t
(1)若曲线C在点(1,1)处的切线为l，求l的极坐标方程；
π
(2)若点A的极坐标为(22， )，且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有
4两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围．
??x＝2cos t，
解 (1)∵?∴x2＋y2＝2，
?y＝2sin t，?
点(1,1)在圆上，故切线方程为x＋y＝2， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝2，
π
θ＋?＝2． l的极坐标方程为ρsin??4?
(2)点A的直角坐标为(2,2)，设m：y＝k(x－2)＋2，m与半圆x2＋y2＝2(y≥0)相切时＝2，
|2k－2|1＋k2
∴k2－4k＋1＝0，
∴k＝2－3或k＝2＋3(舍去)． 设点B(－2，0)，则kAB＝
＝2－2，
2＋22－0
由图可知直线m的斜率的取值范围为(2－3，2－2 ]．
33
6．(2019·黑龙江牡丹江模拟)在直角坐标系xOy中，过点P?，?作倾斜角为α的直
?22?线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M，N．
(1)写出直线l的参数方程；
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
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