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第一章 三角形的证明
一、八条基本事实
1、两点确定一条直线； 2、两点之间直线最短；
3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4、同位角相等，两直线平行；
5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）； 7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）； 8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）； 二、平行线的判定和性质
判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补. 三、全等三角形 判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 性质:全等三角形对应边相等，对应角相等。 三角形全等常用来证明线段或角相等。
例：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90o，点D在AC上，点E在BC延长线上，CD=CE， BD的延长线交AE于点F，连CF.
（1）证明：AE?BD； （2）证明：EF?FD?2FC.
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练习：
1、在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若G在AB上且∠EDG=60°，求证CE+BG=EG；
2、如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。猜想DF与EF的大小关系并请证明你的猜想。
3、如图，RT△ABC中，∠ACB=90o，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H.
（1）求
?APB的度数；
（2）证明：
AH?BD?AB.
四、等腰三角形 1、性质
定理：等腰三角形有两边相等；(定义)
定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
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例题：1、点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ） A．1, B．4, C．7, D．10
2、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20o，D为AB边上一点，且AD=BC求∠CDB的度数。
练习：1、等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，且BD=AD=DC，那么∠B的度数为 。 2、如图在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三
角形，则满足条件的点P共有（ ） A．2个 C．4个
B．3个 D．5个
3、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ． 4、在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，
△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2点
的纵坐标是 ．
，那么点A3的纵坐标是 ，
5、如图，△ABC中，AB =AC，点Q在AC上，在BA的延长线上取AP=AQ，求证：PQ垂直于BC
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6、已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，过点B作BD⊥AC，垂足为D．求证：PE+PF=BD
推论1:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
例：如图，在RT△ABC中，∠ACB=90o，AC DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G． （1）求证：AG?BF； （2）若AE?9，BF 练习：1、如图，在△ABC中，∠ABC=45o，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE． （1）证明：BH（2）证明：BG 2、已知CE垂直于AB于E点，∠1=∠2，AE=1/2（AD+AB），求证：∠ABC+∠D=180° ?18，求线段EF的长． ?CA； 2?GE2?EA2． -可编辑-
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